四天王寺中学校１９９５年算数第３問（解答・解説）
（１）
約数の個数を求めるのだから、約数をいちいち書き出す必要はありません。
３６の約数の個数を求めるのだから、素因数分解するだけです。 ←３６であれば、九九の逆を使って４（２×２）×９（３×３）とできますが・・・
２）３６
２）１８
３） ９
３
３６＝２2×３2
だから、約数の個数は
（２＋１）×（２＋１） ←２を何個使うかで０、１、２の３（２＋１）通りあり、そのそれぞれに対して３を何個使うかで０、１、２の３（２＋１）通りあります。（参考）を参照しましょう。
＝９個
となります。
（２）
次の知識をチェックしておきましょう。この知識さえあれば、この問題は簡単に解けます。
表面積が一番大きくなる → 重なる面をできるだけ少なくする（細長く一列に並べる）
表面積が一番小さくなる → 重なる面をできるだけ多くする（立方体に近い形で並べる）
表面積が一番大きくなるのは、縦・横・高さが１cm・１cm・３６cmの直方体の場合で、表面積が一番小さくなるのは、縦・横・高さが３cm・３cm・４cmの直方体の場合ですね。 ←（１）の結果が一応ヒントになっています。
表面積が一番大きくなる場合の直方体の表面積は
（１×３６）×４＋（１×１）×２
＝１４６cm2
となり、表面積が一番小さくなる場合の直方体の表面積は
（３×４）×４＋（３×３）×２
＝６６cm2
となります。
（参考）一般に、整数☆が
○ア×□イ×△ウ ←（○ア個の積）×（□イ個の積）×（△ウ個の積）
と素因数分解されるとき、☆の約数の個数は
（ア＋１）×（イ＋１）×（ウ＋１）
となります。
例えば、２４（２３×３）の約数の個数は、（３＋１）×（１＋１）＝８個となります。
このことを樹形図と表を用いて確認しておきましょう。
（樹形図）
２の使用個数は、０〜３の３＋１（通り）あり、そのそれぞれに対して、３の使用個数は、０、１の１＋１（通り）あります。したがって、約数の個数は（３＋１）×（１＋１）＝８個となります。
（表）
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２を０個
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２を１個
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２を２個
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２を３個
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３を０個
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１
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２
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４
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８
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３を１個
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３
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６
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１２
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２４
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（参考）なお、上の表の考え方を利用すると、約数の合計を計算することができます。
約数の和は、（１＋２＋４＋８）×（１＋３）となりますね。 ←長方形の面積を求めるイメージです。洛星中学校２００５年後期１第２問も是非解いてみましょう。
