麻布中学校２００８年算数第５問（解答・解説）
（１）
①
新たに１回切断するごとに、「包丁」の右側に立体が１個（１列）増えるから、全部で
２×２×３
＝１２個
となります。
②
表面積の増減を考えます。
１回切断するごとに、切断面の両側に新たな面が登場するので、切断面の２倍の面積が増えます。
もとの直方体の表面積が
（３×４＋４×５＋５×３）×２
＝９４cm2
で、問題のように切断することで、表面積が
３×４×２＋４×５×２＋５×３×２×２ ←分配法則の逆を利用しなくても、九九だけで処理できるので、そのまま計算します。
＝２４＋４０＋６０
＝１２４cm2
増えるから、求める表面積は
９４＋１２４
＝２１８cm2
となります。
（２）
ア＝□、イ＝○、ウ＝△とします。
まず、切断することによりできた立体の個数に関する条件から、
（□＋１）×（○＋１）×（△＋１）＝９０・・・（☆） ←（１）①と同様に考えることができますね。
となります。
次に、表面積に関する条件について考えます。
表面積が
４６２－９４
＝３６８cm2
増えているから、
３×４×２×□＋４×５×２×○＋５×３×２×△＝３６８ ←（１）②と同様に考えることができますね。
１２×□＋２０×○＋１５×△＝１８４ ←上の式を２で割りました。
となります。
２０×○の一の位の数は０、１５×△の一の位の数も０（１２×□、２０×○、１８４がすべて偶数だから、１５×△も偶数となります。１５×△は、偶数で５の倍数だから、一の位の数は０となりますね）、１８４の一の位の数が４だから、１２×□の一の位の数は４となります。 ←倍数条件を利用します（ここでは、一の位チェックを利用しました）。
一の位チェックにより、□の一の位の数は２か７となります。
１２×□＋２０×○＋１５×△＝１８４
２
７
１２
１７（以上）× ←１８４を超えてしまいますね。 上限チェック！
（☆）の条件より、□＋１は９０の約数となるので、□＝７、１２（□＋１＝８、１３）はありえず、□＝２（アの答え）に確定します。
このとき、
２０×○＋１５×△＝１８４－１２×２＝１６０
４×○＋３×△＝３２ ←上の式を５で割りました。
となります。
４×○、３２はともに４の倍数だから、３×△も４の倍数となり、△が４の倍数となります。 ←倍数条件を利用します。
４×○＋３×△＝３２
４
８
１２（以上）× ←３２を超えてしまいますね。 上限チェック！
（☆）の条件は、
（○＋１）×（△＋１）＝９０÷３＝３０
となるので、△＋１は３０の約数となります。
このことから、△＝８（△＋１＝９）はありえず、△＝４（ウの答え）に確定し、
○＝（３２－３×４）÷４
＝５（イの答え）
に確定します。