麻布中学校２０１６年算数第５問（解答・解説）
以下、割り算の商は整数の範囲で考えます。
（１）
まず、千の位の数が１のものについて考えます。
百の位の数、十の位の数、一の位の数の和が８となります。
８個の「１」があり、百の位、十の位、一の位に配る（ただし、１つももらえないものがあってもよいものとします）と考えます。
８個の「１」と２個のしきりを並べ、左から最初のしきりまでの「１」が百の位に配られたもの、最初のしきりから２個目のしきりまでの「１」が十の位に配られたもの、残りの「１」が一の位に配られたものと考えられますね。 ←例えば、１、１、１、/、１/、１、１、１、１であれば、百の位の数が３、十の位の数が１、一の位の数が４となります。１、１、/、１、１、１、１、１、１、/であれば、百の位の数が２、十の位の数が６、一の位の数が０となります。
１０個の場所から、しきり２個の場所を選べばよいから、
（１０×９）/（２×１） ←組合わせですね。
＝４５通り
あります。
次に、千の位の数が２のものを考えます。
２００７、２０１６、・・・と並んでいますね。
したがって、２０１６は
４５＋２
＝４７番目
となります。
千の位の数が１の数については、以下のように書き出して解くこともできます。
その際、下３桁の各位の数の和が８になる３数をまず小さい順に選び出し、後で並べることが大切です。
０，０，８ ３通り ←８がどこに来るかで３通りありますね。
０，１，７ ６通り ←異なる３個のものを並べるので、３×２×１＝６通りありますね（順列ですね）。
０，２，６ ６通り
０，３，５ ６通り
０，４，４ ３通り
１，１，６ ３通り
１，２，５ ６通り
１，３，４ ６通り
２，２，４ ３通り
２，３，３ ３通り
（２）
５×５×５＝１２５の倍数であるが、５×５×５×５＝６２５の倍数でないものを考えればいいですね。
まず、１２５の倍数を考えます。 ←４桁の整数が９の倍数となることをここで使ってもいいですが、１２５の倍数のほうが圧倒的に少ないので、とりあえず９の倍数については後回しにします。
１２５×８＝１０００だから、千の位以上は１２５で割り切れることを考慮すると、下３桁が１２５の倍数、つまり、１２５、２５０、３７５、５００、６２５、７５０、８７５であればいいですね。 ←５×２＝１０だから、十の位以上は５と２で割り切れます。このことから５と２の倍数判定の際、一の位だけチェックすればいいですね。また、２５×４＝１００だから、百の位以上は２５と４で割り切れます。このことから２５と４の倍数判定の際、下２桁だけをチェックすればいいですね。これらと全く同じことです。
各位の和が９以上のものが条件を満たさないことは明らかだから、下３桁が１２５、２５０、５００の場合のみ考えればいいですね。
各位の和が９だから、千の位の数も確定し、１１２５、２２５０、４５００が候補となります。 ←（２）の問題文から、条件を満たすものが最低３個あることがわかるので、この時点で答えが求まってしまいますね。
いずれの数も６２５で割り切れないので、条件を満たすのはこの３数となります。
したがって、最小のものは１１２５となり、３番目に小さいものは４５００となります。
（３）
２×２×２×２×２＝３２の倍数であるが、２×２×２×２×２×２＝６４の倍数でないもの、つまり、２×２×２×２×２×奇数となるものを考えればいいですね。
４桁の整数は９の倍数だから、結局、３２の倍数で９の倍数、つまり２８８（３２と９の最小公倍数）の倍数で６４の倍数以外のものを考えればいいですね。 、←２８８×□（□は奇数）となるものですね。
１００８÷２８８＝３．・・・
９０００÷２８８＝１０００÷３２＝１２５÷４＝３１．・・・
だから、□＝５、７、９、・・・、３１の場合を調べで、各位の和が９となるものを求めればいいですね。 ←上限チェック！下限チェック！
２８８×５＝１４４０○ ←以下２８８×２＝５７６をたしていくという機械的な作業をすればいいですね。各位の数をある程度小さくしないといけないことを考慮すれば、５の倍数が絡みそうだと予想できるので、５の倍数だけ調べてもいいですが・・・
２８８×７＝２０１６×←問題文に２０１６を除くと書いてありますね。２０１６年の受験生であれば、２０１６＝２×２×２×２×２×３×３×７となることは覚えていたはずですね。
２８８×９＝２５９２×
２８８×１１＝３１６８×
２８８×１３＝３７４４×
２８８×１５＝４３２０○
２８８×１７＝４８９６×
２８８×１９＝５４７２×
２８８×２１＝６０４８×
２８８×２３＝６６２４×
２８８×２５＝７２００○ ←答えが３個見つかったので、この時点でやめてもいいですが・・・
２８８×２７＝７７７６×
２８８×２９＝８３５２×
２８８×３１＝８９２８×
したがって、答えは１４４０、４３２０、７２００となります。