麻布中学校２０１７年算数第２問（解答・解説）
以下、帯分数を・を利用して表します。例えば、１・１/３は１と１/３のことです。
１時の時計を思い浮かべると、長針が短針の「後方」３０°の位置にあることがすぐにわかりますね。
１時以降で初めて長針が短針と同じ位置に来るのは、
３０÷１１/２ ←長針の速さは毎分３６０/６０=６度で、短針の速さは毎分３０/６０=１/２度だから、旅人算の追いつきの速さは毎分６−１/２＝１１/２度となります。このことは覚えているはずですね。
＝６０/１１
＝５・５/１１分後
＝５分３００/１１秒後
＝５分２７・３/１１秒後
になるから、１時５分２７・３/１１秒後となります。 ←秒の単位まで求めないといけないのがうっとうしいですね！
１２０°という数字がありがたいので、それを利用して解きます。
長針が短針の１２０°「前方」（○と表します）、長針が短針の１２０°「後方」（☆と表します）、長針と短針が同じ位置（×と表します）が等間隔で繰り返すことになります。 ←いずれも追いつく（引き離す）角度が１２０°の、長針と短針の旅人算（追いつき）になるからです。
上で述べた等間隔の時間は
１２０÷１１/２
＝２４０/１１分
となります。
以下、１時５分２７・３/１１秒から考えます。
繰り返しの様子は次のようになります。
×○☆×○☆×○☆×○☆
長針と短針の作る角の大きさが１２０°となるのが８回目の時刻は、１時５分２７・３/１１秒の
２４０/１１×１１ ←最初の×と最後の☆までに記号は１２個あるので、間は１１個ありますね（植木算）。
＝２４０分後
＝４時間後 ←絶妙な数値設定のおかげできれいな値になりましたね。
だから、求める時刻は午後５時５分２７・３/１１秒となります。・・・（２）の答え
あとは、蛇足の（１）を解きます。
１時から２時までの１時間で、時計の長針と短針の作る角の大きさが１２０°になる時刻の１回目は、１時５分２７・３/１１秒の
２４０/１１
＝２１・９/１１分後
＝２１分５４０/１１秒後
＝２１分４９・１/１１秒後
だから、
１時５分２７・３/１１秒＋２１分４９・１/１１秒
＝１時２７分１６・４/１１秒・・・（１）の答え
となります。
次に、２回目の時刻を求めます。
１回目の時刻の２１分４９・１/１１秒後だから、
１時２７分１６・４/１１秒＋２１分４９・１/１１秒後
＝１時４９分５・５/１１秒・・・（１）の答え
となります。