麻布中学校２０１９年算数第４問（解答・解説）
３の倍数と７の倍数は２１ごとに同様の繰り返しになるので、３，６，７，９，１２，１４，１５，１８，２１の９個を１セットにして考えます。
① ３ ６ ７ ９ 12 14 15 18 21
② 24 27 28 30 33 35 36 39 42
③ 45 48 49 51 54 56 57 60 63
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（１）
１番目から９番目までの数の和は
３＋６＋７＋９＋１２＋１４＋１５＋１８＋２１
＝０＋３＋６＋７＋９＋１２＋１４＋１５＋１８＋２１ ←倍数の対称性理論（周期きっちりの場合、倍数（倍数でないもの）が対称に並んでいること）を利用して求めるために、０を加えました。０を加えると個数は１増えますが、和は変わりませんね。
＝（０＋２１）×５
＝１０５
となります。
（２）
２番目から１０番目までの９個の数の和は、１番目から９番目までの９個の数の和より、２１×１増えます。 ←３が２４に変わったからです。
３番目から１１番目までの９個の数の和は、１番目から９番目までの９個の数の和より、２１×２増えます。 ←３が２４に、６が２７変わったからです。以下同様です。
４番目から１０番目までの９個の数の和は、１番目から９番目までの９個の数の和より、２１×３増えます。
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□番目から（□＋８）番目までの９個の数の和は、１番目から９番目までの９個の数の和より、２１×（□－１）増えます。 ←番目の数と２１が増える個数をうまく対応させます。 ←規則性の問題では、「小さな例で実験⇒観察⇒規則性の把握⇒一般化」というのが基本的な手順になります。
したがって、７７番目から８５番目までの９個の数の和は
１０５＋２１×（７７－１）
＝１７０１
となります。
（３）
９９番目の数は
２１×１１
＝２３１
となります。
１番目から９９番目までの９９個の数の和は
３＋６＋７＋・・・＋２３１
＝０＋３＋６＋７＋・・・＋２３１ ←倍数の対称性理論を利用して求めるために、０を加えました。０を加えると個数は１増えますが、和は変わりませんね。
＝（０＋２３１）×５０
＝１１５５０
となります。
（別解）
１セットごとの和が等差数列になっていることに着目して和を求めます。
①の和は１０５
②の和は１０５＋２１×９
③の和は１０５＋２１×９×２
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⑪の和は１０５＋２１×９×１０
だから、求める和は
（１０５＋１０５＋２１×９×１０）×１１×１/２ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝１１５５０
となります。
（４）
（２）と同じようにして解くことができます。
２番目から１００番目までの９９個の数の和は、１番目から９９番目までの９９個の数の和より、２３１×１増えます。 ←３が３＋２３１に変わったからです。
３番目から１０１番目までの９９個の数の和は、１番目から９９番目までの９９個の数の和より、２３１×２増えます。 ←３、６がそれぞれ３＋２３１、６＋２３１に変わったからです。以下同様です。
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□番目から（□＋９８）番目までの９９個の数の和は、１番目から９９番目までの９９個の数の和より、２３１×（□－１）増えます。
与えられた条件より、１１５５０＋２３１×（□－１）＝１２８２０５となります。
あとは逆算するだけですね。
□
＝（１２８２０５－１１５５０）/２３１＋１
＝５０６
となるから、答えは５０６番目となります。