麻布中学校１９９９年算数第５問（解答・解説）
（１）
相似を利用して解きましょう。
相似比 １辺の長さ１cmの正三角形：１辺の長さ４cmの正三角形＝１：４
↓
面積比 １辺の長さ１cmの正三角形：１辺の長さ４cmの正三角形＝１×１：４×４＝１：１６
したがって、１辺の長さが４cmの正三角形は、１辺の長さが１cmの正三角形を
１６/１＝１６個
使います。
（２）
①
２６番目の正三角形の１辺の長さは２６cmですね。 ←「１辺の長さが１cm、２cm、３cm、４cm、…の正三角形を、それぞれ第１番目、第２番目、第３番目、第４番目、…の正三角形と呼ぶ」という部分をよく読めば、１辺の長さと順番の番号がうまく対応していることがわかりますね。
あとは、（１）と同じですね。
相似比 １辺の長さ１cmの正三角形：１辺の長さ２６cmの正三角形＝１：２６
↓
面積比 １辺の長さ１cmの正三角形：１辺の長さ２６cmの正三角形＝１×１：２６×２６＝１：６７６
したがって、１辺の長さが２６cmの正三角形（第２６番目の正三角形）は、１辺の長さが１cmの正三角形を
６７６/１＝６７６個
使います。
②
今までの内容から、１０１３が「連番の」平方数の和になることがわかりますね。
大雑把（おおざっぱ）に見当をつけて、書き出して調べればいいでしょう。
「連番の」平方数を等しいと考えます。
すると、
１０１３÷２＝５０６・・・余り１
となるので、５００前後の平方数となることがわかりますね。
２０×２０＝４００で、２６×２６＝６７６（（２）の①の結果です。～ヒントになっていましたね。親切な出題者に感謝しましょう。(^0^)）だから、２２ぐらいから調べてみましょう。 ←５００は４００（２０×２０）と６７６（２６×２６）の間にあり、４００に近いから、２２を調べることにしました。２２×２２は計算が楽ですしね。
２２×２２
＝１１×２×１１×２ ←「九九の逆」を利用しました。
＝１２１×４ ←１１×１１＝１２１を利用しました。
＝４８４
２３×２３
＝４８４＋（２２＋２３） ←４６０（２３×２０）＋６９（２３×３）としてもいいでしょう。
＝５２９
となり、
４８４＋５２９＝１０１３
となります。
したがって、求める２つの三角形は２２番目と２３番目となります。
（別解）
相似の利用に気づかなければ、次のような解法でもいいでしょう。
（２）の出題形式から、規則性があることはわかりますよね。
規則性の問題では、次のように考えるといいでしょう。
小さな例を作り実験 ⇒ 観察 ⇒ 規則性の把握（はあく） ⇒ 一般化
大切なのは、実験のときにいい加減な数え方をしないということです。
赤紫色で囲んだ数字の対応に注目しましょう。規則性は一目瞭然（いちもくりょうぜん）ですね。
あとは、１からの連続する奇数Ｎ個の和が
１＋３＋５＋７＋・・・＋（Ｎ－１）＝Ｎ×Ｎ ←下のイメージ図を参照しましょう。
となることを利用するだけですね。
（イメージ図～１からの連続する５個の奇数の和の場合（Ｎ＝５の場合））
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