東京大学２００５年前期文科数学第２問・理科数学第４問（解答・解説）
a2−a
＝a×（a−１） ←分配法則の逆を利用しました。
aとa−１は連続２整数で、aが奇数だから、a−１は偶数となります。
１００００
＝２４×５４ ←２×２×２×２×５×５×５×５のことです。
連続２整数の中に５の倍数が２個以上含まれることはないから、一方だけが５×５×５×５＝６２５の倍数となります。
１６の倍数かつ６２５の倍数が３以上９９９９以下にないのは明らかですね。
aが奇数であることから、aが６２５の倍数（ただし、６２５×奇数）となり、偶数であるa−１が２×２×２×２＝１６の倍数（ただし、１６×（５で割り切れない数））となります。
結局、aは６２５の倍数で、１６で割ると１余る数となりますね。
６２５
＝１６×３９＋１（１６で割ると１余る数）
だから、a＝６２５が答えの１つとなります。 ←a−１が６２５でも１６でも割り切れる数、つまり１００００の倍数となることに注目してもよいでしょう。
６２５の倍数は６２５周期、１６で割ると１余る数は１６周期で現れるから、６２５の倍数で、１６で割ると１余る数は６２５×１６＝１００００周期で現れます。
したがって、３以上９９９９以下の範囲には１つしかないので、a＝６２５だけが答えになります。