京都大学２００２年前期文系数学第５問（解答・解説）
４個の整数から２個を取り出して和をつくるとき、１＋a、１＋b、１＋c、a＋b、a＋c、b＋cの６個になります。 ←異なる４個のものから２個取り出す場合の数なので、（４×３）/（２×１）＝６通りできますね。
与えられた不等式より、１＋a＜１＋b＜１＋c（＜a＋c）、（１＋b＜）a＋b＜a＋c＜b＋cとなるから、１番小さいものは１＋a、２番目に小さいものは１＋b、１番大きいものはb＋c、２番目に大きいものはa＋cと確定しますが、残りの１＋c、a＋bの大小は不明です。
そこで、場合分けして考えます。
（あ）１＋c＜a＋bのとき
小さい順に並べると、１＋a、１＋b、１＋c、a＋b、a＋c、b＋cとなります。
「１＋aからb＋cまでのすべての整数の値が得られる」という条件から
１＋a＋１＝１＋bつまりa＋１＝b
１＋b＋１＝１＋cつまりb＋１＝c
１＋ｃ＋１＝a＋bつまり２＋c＝a＋b
a＋b＋１＝a＋cつまりb＋１＝c
a＋c＋１＝b＋cつまりa＋１＝b
となります。 ←要するに、１ずつ増えていくということですね。
結局、a＋１＝b、b＋１＝c、２＋c＝a＋bを満たすa、b、cを求めればいいですね。
b＝a＋１、c＝（a＋１）＋１＝a＋２だから、２＋a＋２＝a+（a＋１）となり、a＝３、b＝３＋１＝４、c＝３＋２＝５となります。
（い）１＋c＝a＋bのとき
小さい順に並べると、１＋a、１＋b、１＋c＝a＋b、a＋c、b＋cとなります。
「１＋aからb＋cまでのすべての整数の値が得られる」という条件から
１＋a＋１＝１＋bつまりa＋１＝b
１＋b＋１＝１＋c＝a＋bつまりb＋１＝c、a＝２ ←両端を見比べると、a＝２となることがすぐにわかりますね。
１＋ｃ＋１＝a＋cつまりa＝２
a＋c＋１＝b＋cつまりa＋１＝b
となります。
結局、a＋１＝b、b＋１＝c、a＝２を満たすa、b、cを求めればいいですね。
a＝２、b＝２＋１＝３、c＝３＋１＝４となります。
（う）１＋c＞a＋bのとき
小さい順に並べると、１＋a、１＋b、a＋b、１＋c、a＋c、b＋cとなります。
「１＋aからb＋cまでのすべての整数の値が得られる」という条件から
１＋a＋１＝１＋bつまりa＋１＝b
１＋b＋１＝a＋bつまりa＝２
a＋b＋１＝１＋cつまりc＝a＋b
１＋c＋１＝a＋cつまりa＝２
a＋c＋１＝b＋cつまりa＋１＝b
となります。
結局、a＋１＝b、a＝２、c＝a＋bを満たすa、b、cを求めればいいですね。
a＝２、ｂ＝２＋１＝３、ｃ＝２＋３＝５となります。
以上（あ）〜（う）より、（a,b,c）＝（３，４，５）、（２，３，４）、（２，３，５）となります。
神戸女学院中学部２００３年算数第２問と灘中学校１９９３年算数２日目第１問も解いてみましょう。京大の問題と同じですよ。