京都大学２００９年理系甲数学第５問・文系第数学５問（解答・解説）
一見すると、文字が多くて抽象的でわかりにくいですが、例えば、ｐ＝３、ｎ＝２としてみると、（３２）！＝９！、つまり１から９までの整数を掛け合わせたものは、３で何回割り切れますがという、中学入試でよく出されている問題と同じだとわかりますね。 ←抽象的でわかりにくい場合、具体化することが大切です。
１からｐnまでの整数の中には、ｐの倍数は、ｐn÷ｐ＝ｐn-1個あります。 ←ｐが素数だから、このように言えます。なお、ｎ＝１のとき、ｐn-1＝ｐ0＝１となります。ｐ１、ｐ２、ｐ３、…というように、指数（右上の小さな数字）が１大きくなるごとにｐ倍になっている、言い換えれば、指数が１小さくなるごとに１/ｐ倍になっていることから、ｐ０＝ｐ１/ｐ＝１となることがわかりますね。
１からｐnまでの整数の中には、ｐ2の倍数は、ｐn÷ｐ2＝ｐn-2個あります。
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１からｐnまでの整数の中には、ｐn-1の倍数は、ｐn÷ｐn-1＝ｐ個あります。
１からｐnまでの整数の中には、ｐnの倍数は、ｐn÷ｐn＝１個あります。
したがって、求める回数は
１＋ｐ＋ｐ2＋・・・＋ｐn-1 ←例えば、ｐ2の倍数は、ｐの倍数とｐ2の倍数のところでカウントされていますが、実際、ｐで２回割り切れるので、ちょうどよくなりますね。
となります。
これをＳとします。
Ｓ×ｐ＝ｐ＋ｐ2＋・・・＋ｐn-1＋ｐn
と、Ｓの差を考えると、
Ｓ×ｐ−Ｓ＝ｐn−１
（ｐ−１）×Ｓ＝ｐn−１ ←分配法則の逆を利用しました。
Ｐ（素数）は１でないから、
Ｓ＝（ｐn−１）/（ｐ−１）
となります。
したがって、（ｐn）！はｐで（ｐn−１）/（ｐ−１）回割り切れます。
東大寺学園中学校２００３年算数第２問も解いてみましょう。京大の問題と同じような問題です。