大阪大学１９９９年前期文系数学第３問（解答・解説）
a以上b以下の整数の和が５００だから、
（a＋b）×（b−a＋１）×１/２＝５００ ←等差数列の和の公式（（最初の数＋最後の数）×個数×１/２））を利用しました。
（a＋b）×（b−a＋１）＝１０００
となります。
aが正の整数のとき、明らかにa＞１−aだから、a＋b＞b−a＋１となります。
また、（a＋b）＋（b−a＋１）＝２ｂ＋１は奇数だから、一方が奇数で、他方が偶数になります。 ←偶奇性に注目しました。
さらに、１０００＝１０３＝２３×５３となります。 ←整数問題で、大きな数が出てきた場合、素因数分解をするとうまくいくことがよくあります。
したがって、２数の積（１０００の約数のペア）として考えられるものは、８×１２５、４０×２５、２００×５となり、次の（あ）、（い）、（う）の場合が考えられます。
（あ）a＋b＝１２５、b−a＋１＝８のとき
a＋b＝１２５、b−a＝７となるから、和差算により、a＝（１２５−７）÷２＝５９、b＝５９＋７＝６６となります。
（い）a＋b＝４０、b−a＋１＝２５のとき
a＋b＝４０、b−a＝２４となるから、和差算により、a＝（４０−２４）÷２＝８、b＝８＋２４＝３２となります。
（う）a＋b＝２００、b−a＋１＝５のとき
a＋b＝２００、b−a＝４となるから、和差算により、a＝（２００−４）÷２＝９８、b＝９８＋４＝１０２となります。
以上、（あ）〜（う）より、（a,b）＝（５９，６６）、（８，３２）、（９８，１０２）となります。