神戸大学２０１０年後期理系数学第５問・経済数学第３問（解答・解説）
（１）
赤色を塗る頂点の組み合わせは、Ａ−Ｇ、Ｂ−Ｈ、Ｃ−Ｅ、Ｄ−Ｆの４通りになります。 ←樹形図で書き出そうとすれば、最も離れた２頂点を赤色で塗るしかないことに気づくはずです。結局のところ、立方体の対角線の本数を数えていることになります。
（２）
Ａ−Ｂ−Ｇ
Ｈ
Ａ−Ｃ−Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
Ａ−Ｄ−Ｆ
Ｇ
上のように樹形図を少しかいてみると、（あ）立方体のある辺の両端の頂点に赤色を塗った場合、その両端のいずれか一方の頂点と最も離れた頂点に赤色を塗る必要があることと（い）立方体のある面の対角線の両端の頂点に赤色を塗った場合、その面の反対側の面の４頂点のいずれかに赤色を塗る必要があることがわかりますね。
ただ、（い）の場合で４頂点のいずれかに赤色を塗ったとき、結果的に立方体の辺の両端に赤色を塗ることになれば、（あ）の場合とダブることになります。
そこで、ダブりを防ぐために、（い）立方体のある面の対角線の両端の頂点に赤色を塗った場合、その面の反対側の面の４頂点のうち、赤色を塗った３頂点が正三角形を構成するようになる２頂点のみ塗ることにします。 ←要するに、立方体の辺の両端に赤色を塗ることを避けるということです。
（あ）の場合
辺の選び方が１２通りあり、そのそれぞれに対して、残りの１頂点の選び方が２通りあるから、赤色の塗り方は全部で
１２×２
＝２４通り
あります。 ←結局のところ、前半部分は、立方体の辺の個数を数えていることになります。
（い）の場合
３頂点が正三角形をなすような選び方を考えればいいですが、それは正三角形の重心の「真上」にある立方体の頂点の個数を考えればよいので、８通りあります。 ←結局のところ、立方体の頂点の個数を数えていることになります。
したがって、この場合の塗り方は
２４＋８
＝３２通り
あります。
（別解）
こちらのほうがスマートな解法になります。
「裏」（余事象）を考えるという方針で解きます。
（３）と同様の解法ですが、条件を満たすものが満たさないものより少なくなさそうなので、（３）に比べると気付きにくいかもしれませんね。
条件を満たさないものは、立方体のある面の４頂点のうち３頂点に塗るときだから、面の選び方が６通りあり、そのそれぞれに対して、赤色に塗らない頂点の選び方が４通りあるから、 ←結局のところ、前半部分は、立方体の面の個数を数えていることになります。
６×４
＝２４通り
あります。
また、８頂点から３頂点の選び方は
（８×７×６）/（３×２×１） ←組み合わせですね。
＝５６通り
あるから、この場合の塗り方は
５６−２４
＝３２通り
あります。
（３）
「裏」（余事象）を考えるという方針で解きます。
赤色を４頂点に塗ると、条件を満たしやすいことはすぐにわかりますね。
条件を満たさないものは、立方体のある面の４頂点に赤色を塗るときだから、面の選び方を考えればよく、６通りあります。 ←結局のところ、立方体の面の個数を数えていることになります。
また、８頂点から４頂点の選び方は
（８×７×６×５）/（４×３×２×１） ←組み合わせですね。
＝７０通り
あるから、この場合の塗り方は
７０−６
＝６４通り
あります。
（４）
条件の対等性を利用して作業を減らします。
赤で塗られる頂点が５個の場合、白で塗られる頂点が３個の場合ですね。
赤色と白色は条件的に同じなので、この場合は、（２）より、３２通りあります。
赤で塗られる頂点が６個の場合、白で塗られる頂点が２個の場合ですね。
赤色と白色は条件的に同じなので、この場合は、（１）より、４通りあります。
赤で塗られる頂点が７個の場合、赤で塗られる頂点が１個の場合、赤で塗られる頂点が８個の場合、赤で塗られる頂点が０個の場合がありえないことも明らかですね。
したがって、塗り方は全部で
（４＋３２）×２＋６４
＝１３６通り
あります。