東京大学２００７年前期文科数学第３問（解答・解説）
ｍ＝ｓ×１０＋ｔ＝１０ｓ＋ｔ（ｓ、ｔは、０以上９以下の整数）とします。 ←ｓ、ｔがともに０のときは、ｍが正の整数という条件を満たしませんが、些末なことです。とりあえず、ｍが０以上の整数と考えて、答えに影響するのであれば、最後にそれを取り除けばいいだけです。
５（１０ｓ＋ｔ）４
＝５（１０ｓ＋ｔ）×（１０ｓ＋ｔ）×（１０ｓ＋ｔ）×（１０ｓ＋ｔ）
＝５（１００ｓ２＋２０ｓｔ＋ｔ２）×１００ｓ２＋２０ｓｔ＋ｔ２） ←分配法則を利用して、地道に計算してもいいですが、（あ）の面積図を参照すれば、一目瞭然ですね。２数の積がからむときに面積図を考えるのはよくあることですね。
ここから、分配法則を利用しても計算できますが、面倒なので、（い）の面積図を利用します。
図のピンク色の部分は１００の倍数なので、下２桁に影響しません。
また、図の黄色の部分は２０の倍数なので、５倍すると１００の倍数となり、下２桁に影響しません。
結局、図の水色の部分を５倍した数の下２桁（５ｔ４）がもとの数の下桁と一致することになり、ｍ＝０、１、２、・・・、９だけ調べればいいですね。 ←ｍは正の整数となっていますが、１０の代わりに０を調べても同じことですね。
５×０４＝０
５×１４＝５
５×２４＝１０×８＝８０ ←「５と２は仲良し」（５と偶数の掛け算を優先して計算）を利用しました（以下同じ）。
５×３４＝５×８１＝４０５→５
５×４４＝２０×６４＝１２８０→８０
５×５４＝６２５×５＝３１２５→２５ ←２５×２５＝６２５を利用しました。
５×６４＝３０×２１６＝６４８０→８０ ←６×６×６＝２１６を利用しました。
５×７４＝３５×４９×７＝２４５×４９＝１２００５→５ ←２４５×５０−２４５＝２４５×１００/２−２４５＝２４５００の半分−２４５として計算しました。
５×８４＝４０×５１２＝２０４８０→８０ ←８は２の３乗なので、８の３乗は２の９乗となりますね。２の１０乗＝１０２４を利用して、２の９乗＝１０２４/２＝５１２となります。
５×９４＝４５×８１×９＝３６４５×９＝３２８０５→５ ←４５×８１＝４５×８０＋４５＝９０×４０＋４５としました。３６４５×９＝３６４５×１０−３６４５としました（以下同じ）。
したがって、５ｍ４の下２桁として現れる数は、０、５、２５、８０となります。
（参考）
（１０＋ｐ）×（１０＋ｑ）
＝１００＋１０ｐ＋１０ｑ＋ｐｑ
＝１０（１０＋ｐ＋ｑ）＋ｐｑ
＝１０｛（１０＋ｐ）＋ｑ｝＋ｐｑ
とすると、１１から１９までのいずれか２数の積を計算する際、十の位のところに、どちらか一方の数と他方の一の位の数の和を配置し、２数の一の位の積を一の位に配置して計算すればよいことがわかりますね。
例えば、１４×１８を計算する場合、
３２ ←４×８
＋２２ . ←１４＋８（１８＋４）
２５２
となります。
