一橋大学２０１１年前期数学第１問（解答・解説）
（１）
与えられた式の両辺を３ｘｙ倍しても解けますが、小学生には厳しいので、ここでは違う解き方をします。
（２）のことを考えると、この解き方のほうが楽ですしね。
ｘが大きくなる（当然ｙも大きなる）と、１＋１/ｘと１＋１/ｙは１に近づき、積が５/３になるという条件を満たしませんね。 ←分子が一定の分数において、分母が大きくなるほど、分数が小さくなるのは当たり前のことですね。
このことに着目して解きます。
（あ）ｘ＝２のとき
（１＋１/２）×（１＋１/ｙ）＝５/３
１＋１/ｙ＝５/３×２/３
１/ｙ＝１０/９−１＝１/９
このとき、（ｘ，ｙ）＝（２，９）となります。
（い）ｘ＝３のとき
（１＋１/３）×（１＋１/ｙ）＝５/３
１＋１/ｙ＝５/３×３/４
１/ｙ＝５/４−１＝１/４
このとき、（ｘ，ｙ）＝（３，４）となります。
（う）ｘ≧４のとき ←ｘ＝４のときを実際に試してみて、条件を満たさないことを確認したら、このように修正すればいいわけです。
ｙ＞４だから、ｙ≧５となります。
（０＜）１＋１/ｘ≦１＋１/４＝５/４
（０＜）１＋１/ｙ≦１＋１/５＝６/５
となるから、
（０＜）（１＋１/ｘ）×（１＋１/ｙ）≦５/４×６/５＝３/２＝９/６＜１０/６＝５/３
となり、条件を満たしません。
（あ）、（い）、（う）より、（ｘ，ｙ）＝（２，９）、（３，４）となります。
（２）
ｘが大きくなる（当然ｙ、ｚも大きなる）と、１＋１/ｘと１＋１/ｙと１＋１/ｚは１に近づき、積が１２/５になるという条件を満たしませんね。 ←５/３は２より小さかったですが、１２/５は２より大きいので、（１）より厳しそうだなと予想できますね。
（あ）ｘ＝２のとき
（１＋１/２）×（１＋１/ｙ）×（１＋１/ｚ）＝１２/５
（１＋１/ｙ）×（１＋１/ｚ）＝１２/５×２/３＝８/５
これと２＜ｙ＜ｚを満たす整数ｙ、ｚを求めればいいですね。
（１）と同様の問題ですね。
ｙ＝３のとき
（１＋１/３）×（１＋１/ｚ）＝８/５
１＋１/ｚ＝８/５×３/４＝６/５
１/ｚ＝６/５−１＝１/５
このとき、（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，３，５）となります。
ｙ≧４のとき ←ｙ＝４のときを実際に試してみて、条件を満たさないことを確認したら、このように修正すればいいわけです。
ｚ＞４だから、ｚ≧５となります。
（０＜）１＋１/ｙ≦１＋１/４＝５/４
（０＜）１＋１/ｚ≦１＋１/５＝６/５
となるから、
（０＜）（１＋１/ｙ）×（１＋１/ｚ）≦５/４×６/５＝３/２＜１．５＜１．６＝８/５
となり、条件を満たしません。
（い）ｘ≧３のとき
ｙ＞３だから、ｙ≧４となり、ｚ＞４だから、ｚ≧５となります。
（０＜）１＋１/ｘ≦１＋１/３＝４/３
（０＜）１＋１/ｙ≦１＋１/４＝５/４
（０＜）１＋１/ｚ≦１＋１/５＝６/５
となるから、
（０＜）（１＋１/ｘ）×（１＋１/ｙ）×（１＋１/ｚ）≦４/３×５/４×６/５＝２＜１２/５
となり、条件を満たしません。
（あ）、（い）より、（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，３，５）となります。