慶應義塾大学2014年医学部数学第1問(1)(解答・解説)
(前半部分)
(あ)偶数が3枚の場合と(い)偶数が2枚の場合があります。
(あ)の場合
異なる6個の偶数から3個選べばよいから、
(6×5×4)/(3×2×1) ←組み合わせですね(以下、同様です)。
=20通り
あります。
(い)の場合
異なる6個の偶数から2個、異なる7個の奇数から1個選べばよいから、
(6×5)/(2×1)×7
=105通り
あります。
(あ)、(い)より、求める選び方は
20+105
=125通り
あります。
仮に、カードが偶数枚であれば、条件の対等性を利用することで、もっと簡単に解けます。
(P)偶数が0枚の場合(奇数が3枚の場合)
(Q)偶数が1枚の場合(奇数が2枚の場合)
(R)偶数が2枚の場合
(S)偶数が3枚の場合
の4つの場合が考えられますね。
カードが偶数枚であれば、奇数のカードと偶数のカードが同じ枚数となるので、奇数と偶数は条件的に同じになります。
したがって、(P)の場合の数と(S)の場合の数は等しくなり、(Q)の場合の数と(R)の場合の数も等しくなります。
結局、(R)の場合の数と(S)の場合の数を求める場合、全体の場合の数の半分を求めればよいことになります。
このことに着目して問題を解くと、少しだけ楽になります。
13のカードを含む場合と含まない場合に分けて考えます。
13のカードを含まない場合は、上で述べた偶数枚(ここでは12枚)の場合に該当しますね。
13のカードを含む場合、6枚の偶数から2枚選べばいいですね。
したがって、求める選び方は
(12×11×10)/(3×2×1)×1/2+(6×5)/(2×1)
=110+15
=125通り
あります。
(後半部分)
1〜13の13枚のカードから3枚選ぶ場合の数から、1〜10の10枚のカードから3枚選ぶ場合の数を引いて求めます。 ←「裏」(余事象)を考えます。クラスの出席者を求める場合、少ない欠席者を数え、全体から引くのと同じですね。
13枚のカードから3枚のカードを選ぶ選び方は
(13×12×11)/(3×2×1)
=286通り
あり、10枚のカードから3枚のカードを選ぶ選び方は
(10×9×8)/(3×2×1)
=120通り
あるから、求める選び方は
=286−120
=166通り
あります。