神戸大学１９５９年数学Ⅰ代数、数学Ⅱ文理第３問（解答・解説）
６桁の整数の左側にある３つの数字をＡ、右側にある３つの数字をＢとします。
与えられた条件から、Ａ×１０００＋ＢもＡ＋Ｂもｐで割り切れるから、その差のＡ×９９９もｐで割り切れます。
これが３桁の整数Ａの値にかかわらず成り立つので、ｐは９９９の約数となることが必要です。
９９９を素因数分解すると、９９９＝３×３×３×３７となります。 ←１１１＝３７×３は覚えておきましょう。
ｐは２桁の整数だから、３×３×３＝２７か３７となります。
逆に、このとき、Ａ×１０００＋Ｂがｐ（２７、３７）で割り切れるとき、Ａ＋Ｂ＝Ａ×１０００＋Ｂ－Ａ×９９９もつねにｐ（２７、３７）で割り切れ、題意を満たしますね。
この問題をきちんとマスターできていれば、９９９の倍数判定法にかかわる灘中学校の問題がすぐに解けます。
（参考問題）灘中学校２００３年算数１日目第７問
６けたの整数５ＡＢＣ１５が９９９の倍数となるとき、３けたの整数ＡＢＣは[ ]である。
（略解）５ＡＢ＋Ｃ１５が９９９の倍数（９９９×２未満だから、９９９）となるから、ＡＢ＝８４、Ｃ＝４となり、ＡＢＣ＝８４４となります。