名古屋大学２０１６年前期文系数学第３問（解答・解説）
（１）
ｓ（２ｋｐ）
＝１＋２＋２２＋・・・＋２ｋ＋ｐ＋２×ｐ＋２２×ｐ＋・・・＋２ｋ×ｐ
＝（１＋２＋２２＋・・・＋２ｋ）＋（１＋２＋２２＋・・・＋２ｋ）×ｐ
＝（１＋２＋２２＋・・・＋２ｋ）×（１＋ｐ） ←分配法則の逆を利用しました。実は、長方形の面積を求めるイメージで、最初からこの式を作ることができます。約数の和の求め方については、神戸女学院中学部１９９５年算数２日目第４問の解説を参照しましょう。
最初の（ ）の中は、初項（最初の数）１、公比２、項数（個数）ｋ＋１の等比数列の和になっていますね。 ←等比数列の和の求め方については、灘中学校１９９２年算数２日目第１問の解説を参照しましょう。
①＝１＋２＋２２＋・・・＋２ｋ
②＝ ２＋２２＋・・・＋２ｋ＋２ｋ＋１ ←上の式を２倍して、１つずつ右にずらしました。
差①＝２ｋ＋１－１ ←うまく消えましたね。
したがって、ｓ（２ｋｐ）＝（２ｋ＋１－１）（１＋ｐ）となります。
（２）
２０１６を素因数分解します。
１６）２０１６ ←１２５×８＝１０００だから、１２５×１６となります。このことを利用しました。
６） １２６
２１
２０１６＝２５×３２×７ ←上の計算で、１６＝２４、６＝２×３、２１＝３×７とすれば、この結果が得られますね。
となるから、
ｓ（２０１６）
＝（１＋２＋２２＋・・・＋２５）×（１＋３＋３２）×（１＋７）・・・（☆） ←直方体の体積を求めるイメージで、この式を作りました。
＝６３×１３×８
＝６５５２
となります。
（３）
（２）がヒントになっていますね。 ←メインの問題の前に簡単な問題がある場合は、誘導になっている可能性が高くなります。
２０１６の正の約数ｎのｓ（ｎ）は、（☆）の３つの括弧（かっこ）内のそれぞれの部分について、後ろ側からいくつかの数字を取り除いたものになります（ただし、先頭の１は取り除かずにおいておきます）。 ←例えば、２５×３であれば、１個目の括弧内はそのまま、２個目の括弧内は１＋３、３個目の括弧内は１となります。
３個目の括弧内の７を取り除くと、ｓ（ｎ）は６３×１３＜２０１６となるので、３個目の括弧内はそのままとなります。
２個目の括弧内の３２を取り除くと、ｓ（ｎ）は６３×４×８＝２５２×８＝２０１６となるので、１個目の括弧内はそのままとなります。
この場合のｎは
２５×３×７
＝２０１６/３
＝６７２
となります。
２個目の括弧内の３２と３を取り除くと、ｓ（ｎ）は６３×８＜２０１６となるので、この場合はありえません。
あとは、１個目の括弧内から取り除く場合だけを考えればいいですね。
１個目の括弧内から２５を取り除くと、ｓ（ｎ）は３１×１３×８（６５５２の半分ぐらいなので、２０１６より大きいですね）だから、条件を満たしません。
１個目の括弧内から２５と２４を取り除くと、ｓ（ｎ）は１５×１３×８＜２０１６となり、条件を満たしませんし、１個目の括弧内からこれ以上取り除いた場合も当然条件を満たしませんね。
したがって、求めるｎは６７２となります。 ←すべて求めるのが当たり前なのに、問題文にわざわざ「すべて」とつけて、答えが１個となるのがいやらしいですね！