弘前大学２０１１年前期理系数学第５問（解答・解説）
（１）
２０個の各頂点からは、当該頂点と隣の頂点以外へ（２０−３）本の対角線が引け、それぞれの対角線を２回ずつカウントしているので、正二十角形Ｐの対角線は
（２０−３）×２０/２ ←最初はあえて重複させて数えて、後で重複度で割って調整します。（２）の別解はこの方針で解いています。なお、一般に、Ｎ角形の対角線は（Ｎ−３）×Ｎ/２となります。
＝１７０本
ひけます。
（２）
選んだ３頂点の頂点間に正二十角形Ｐの辺が何個あるか考えます。
合同なもののダブルカウントを防ぐために、大きくない順に書き出します。
１個は使ないことに注意して書き出すと、次のようになります。
２ ２ １６
３ １５
・・・・
９ ９ ←（２＋１６）÷２＝９より求めました。
最小のものが２のものは９−１＝８個あります。
３ ３ １４
４ １３
・・・・
８ ９ ←（３＋１４）÷２＝８・・・１より求めました。
最小のものが２のものは８−２＝６個あります。
４ ４ １２
５ １１
・・・・
８ ８ ←（４＋１２）÷２＝８より求めました。
最小のものが４のものは８−３＝５個あります。
５ ５ １０
６ ９
７ ８
最小のものが５のものは３個あります。
６ ６ ８
７ ７
最小のものが６のものは２個あります。
７＋７＋７＝２１となるので、最小のものが７以上のものはありませんね。
したがって、Ｐと辺を共有しない三角形は
８＋６＋５＋３＋２
＝２４個
あります。
（別解）
なお、３頂点の頂点間に正二十角形Ｐの頂点が何個あるか考えて解くこともできます。
３頂点以外の頂点の個数は２０−３＝１７個で、この頂点を３頂点の間に配置することを考えます。
３カ所の間（Ａ、Ｂ、Ｃとします）に最低１個ずつ配置するので、まず、３カ所の間に１個ずつ配置し、次に、残りの１７−３＝１４個を配置することにします。
これは１４個の頂点と仕切り２個の並べ方を考えればいいので、
（１６×１５）/（２×１） ←組み合わせですね。
＝１２０通り
あります。
したがって、合同なものを含めると、三角形は１２０個あります。
実際は、合同なものを１回ずつしか数えてはいけないので調整します。
このうち３辺が等しい三角形はなく、２辺が等しい三角形（二等辺三角形）は、
１ １ １５ ←二等辺三角形は、３頂点の間に配置した頂点の個数が等しくなるところが２か所ありますね。
２ ２ １３
３ ３ １１
４ ４ ９
５ ５ ７
６ ６ ５
７ ７ ３
８ ８ １
の８通りあり、本来１回ずつカウントすべきところを３回カウントしているので、二等辺三角形は、合同なものを含めると８×３＝２４個あり、３辺の長さが異なる三角形は合同なものを含めると１２０−２４＝９６個あります。
また、３辺の長さが異なる三角形は、それぞれ３×２×１＝６回ずつカウントしています。 ←例えば、（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（４，５，８）、（４，８，５）、（５，４，８）、（５，８，４）、（８，４，５）、（８，５，４）はすべて合同な三角形で、１個とカウントすべきですが、４，５，８の入れ替えの場合の数だけ重複して数えていますね。
したがって、Ｐと辺を共有しない三角形は、
９６/６＋２４/３
＝１６＋８
＝２４個
あります。
東京大学１９９６年後期理科数学第１問は、この別解と同じ方針で解けるので、ぜひ解いてみましょう。