岡山大学２０１４年前期理系数学第１問（解答・解説）
（１）
異なるｎ個の整数から重複を許さず３個の整数を選べばよいから、
ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）/（３×２×１） ←組み合わせですね。
＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）/６通り
あります。
（２）
ｂより１大きい整数ｄ、ｃより２大きい整数eを考えると、a＜d＜eとなり、a、d、eは１以上（ｎ＋２）以下の整数となります。 ←実際には、aは１以上ｎ以下の整数、dは２以上（ｎ＋１）以下の整数、eは３以上（ｎ＋２）以下の整数となりますが、１以上（ｎ＋２）以下の整数から異なる３個の整数を選べば、自動的に条件を満たしますね。
これで（１）と同様の問題になりましたね。
異なる（ｎ＋２）個の整数から重複を許さず３個の整数を選べばよいから、
（ｎ＋２）×（ｎ＋１）×ｎ/（３×２×１）
＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）ｎ/６通り
あります。
（３）
bとcの大小で場合分けして考えます。
（あ）ｂ＝ｃのとき
a＜b＝ｃとなります。
異なるｎ個の整数から重複を許さず２個の整数を選べばよいから、この場合は
ｎ×（ｎ−１）/（２×１）
＝ｎ（ｎ−１）/２通り
あります。
（い）ｂ＜ｃのとき
a＜b＜cとなります。
（１）の場合に他ならないから、この場合はｎ（ｎ−１）（ｎ−２）/６通りあります。
（う）ｃ＜ｂのとき
a≦c＜bとなります。
aより１小さいｆを考えると、ｆ＜ｃ＜ｂとなり、ｆ、ｃ、ｂは０以上ｎ以下の整数となります。 ←実際には、ｆは０以上（ｎ−１）以下の整数、ｃ、ｂは１以上ｎ以下の整数となりますが、０以上ｎ以下の整数から異なる３個の整数を選べば、自動的に条件を満たしますね。
これで（１）と同様の問題になりましたね。
異なる（ｎ＋１）個の整数から重複を許さず３個の整数を選べばよいから、
（ｎ＋１）×ｎ×（ｎ−１）/（３×２×１）
＝（ｎ＋１）ｎ（ｎ−１）/６通り
あります。
以上（あ）〜（う）より、全部で
ｎ（ｎ−１）/２＋ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）/６＋（ｎ＋１）ｎ（ｎ−１）/６
＝ｎ（ｎ−１）/６×（３＋ｎ−２＋ｎ＋１） ←分配法則の逆を利用しました。
＝ｎ（ｎ−１）（ｎ＋１）/３通り
あります。