徳島大学２０１５年医学部他数学第４問（解答・解説）
（１）
箱Ａに３、６、９の球が入ることと５が残ることが確定していますね。
１、２、４、７、８、１０の６個の球のうちＢに入れる３個の球を選べばよいから、求める場合の数は
（６×５×４）/（３×２×１） ←組み合わせですね。
＝２０通り
となります。
（２）
箱に入れる球の番号を３で割った余りで整理します。
（あ）３で割った余り０・・・３、６、９の３個
（い）３で割った余り１・・・１、４、７の３個
（う）３で割った余り２・・・２、５、８の３個
条件を満たすのは、（Ｐ）Ａの箱に、（あ）、（い）、（う）のいずれかのグループの３個の球を入れる場合、または（Ｑ）Ａの箱に、（あ）、（い）、（う）のそれぞれのグループから球を１個ずつ選んで入れる場合になります。 ←知識としておさえておくべきですが、少し実験してみればわかります。。
（Ｐ）の場合
Ａの箱に（あ）のグループの３個の球を入れる場合は、（１）同様２０通りあり、Ａの箱に（い）、（う）いずれかのグループの３個の球を入れる場合も同様だから、この場合は ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
２０×３
＝６０通り
あります。
（Ｑ）の場合
Ａの箱に入れる球は、（あ）の３個のうちどの３個を入れるかで３通りあり、そのそれぞれに対して、（い）の３個のうちどの３個を入れるかで３通りあり、そのそれぞれに対して、（う）の３個のうちどの３個を入れるかで３通りあり、そのそれぞれに対して、Ｂ、Ｃそれぞれの箱に入れる球の入れ方は、（１）同様２０通りあるから、この場合は ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
３×３×３×２０
＝５４０通り
あります。
したがって、求める場合の数は
６０＋５４０
＝６００通り
となります。
（３）
いずれの箱についても３個の球の番号の和が３の倍数だから、箱に入れた９個の球の番号の和も３の倍数となります。
また、１から１０までの整数の和は５５で、３で割ると１余る数だから、残った球の番号（a）は３で割ると１余る数、すなわち、１、４、７、１０のいずれかの４通りとなります。
（２）同様、箱に入れる球の番号を３で割った余りで整理します。
（あ）３で割った余り０・・・３、６、９の３個
（い）３で割った余り１・・・１、４、７、１０のうちa以外の３個
（う）３で割った余り２・・・２、５、８の３個
条件を満たすのは、（Ｒ）Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれの箱に、（あ）、（い）、（う）の同じグループの３個の球を入れる場合、または（Ｓ）Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれの箱に、（あ）、（い）、（う）のそれぞれのグループから球を１個ずつ選んで入れる場合になります。
（Ｒ）の場合、Ａの箱に（あ）、（い）、（う）のうちどのグループの球３個を入れるかで３通りあり、そのそれぞれに対して、Ｂの箱にどのグループの球３個を入れるかで２通りあり、そのそれぞれに対して、Ｃの箱にどのグループの球３個を入れるかで１通りあります。
（Ｓ）の場合、Ａの箱に入れる３個の球の選び方が３×３×３通りあり、そのそれぞれに対して、Ｂのの箱に入れる３個の球の選び方が２×２×２通りあり、そのそれぞれに対して、Ｃの箱に入れる３個の球の選び方が１×１×１通りあります。
したがって、求める場合の数は
（３×２×１＋３×３×３×２×２×２×１×１×１）×４
＝８８８通り
となります。