信州大学２０１６年前期医系数学第４問（解答・解説）
群数列の問題ですね。
数列をよく観察すると、次のようになることがすぐにわかりますね。
第ｎ群の個数と並んでいる数が問題文に明記してありますからね。
第１群 １個 １を１倍したもの
第２群 ３個 １、２、１を２倍したもの
第３群 ５個 １、２、３、２、１を３倍したもの
第４群 ７個 １、２、３、４、３、２、１を４倍したもの
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
第ｎ群 （２ｎ−１）個 １、２、３、・・・、（ｎ−１）、ｎ、（ｎ−１）、・・・、３、２、１をｎ倍したもの ←ｎ倍する前の規則性に関しては神戸女学院中学部などでずいぶん前に出題されています。
（１）
１＋３＋５＋７＋・・・＋（２ｎ−１）
＝ｎ×ｎ ←１から連続するｎ個の奇数の和の公式を利用しました。下の（参考）で公式をしっかり理解しておきましょう。もちろん、等差数列の和の公式を利用して解くこともできます。
＝ｎ２
となります。
（参考）１から連続するｎ個の奇数の和
○
１＝１×１
○●
●●
１＋３＝２×２
○●○
●●○
○○○
１＋３＋５＝３×３
○●○●
●●○●
○○○●
●●●●
１＋３＋５＋７＝４×４
２から連続するｎ個の偶数の和については、西大和学園中学校２０１２年第１問（４）の解答・解説を参照しましょう。
（２）
第ｎ群に含まれる項の総和は
１＋２＋３＋・・・＋（ｎ−１）＋ｎ
＋１＋２＋・・・＋（ｎ−２）＋（ｎ−１）
＝１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−３）＋（２ｎ−１） ←（１）で求めたものに他ならないですね。
＝ｎ２
のｎ倍となるから、ｎ３となります。
なお、次のような図（丸を斜め（正方形の１つの対角線に平行）に数えていきます）を思い浮かべれば、最初の式変形を経ずに求めることもできます。
○
１＝１×１
○●
●○
１＋２＋１＝２×２
○●○
●○●
○●○
１＋２＋３＋２＋１＝３×３
○●○●
●○●○
○●○●
●○●○
１＋２＋３＋４＋３＋２＋１＝４×４
（３）
最初に現れる２０１６を考えるのだから、各群で最大の数（真ん中の数）のｎ２で見当をつければいいですね。 ←まず大雑把（おおざっぱ）に考え、後で調整します。
４０×４０＝１６００、５０×５０＝２５００だから、４０台半ばの数あたりをチェックすればいいですね。
４５×４５
＝２５×８１ ←４５＝５×９として組み替えて計算しました。
＝２０２５ ←２５×８０（＝２０００）＋２５として計算しました。
４４×４４
＝２０２５−４４−４５ ←（１）の図を思い浮かべれば、このようになることはすぐにわかります。
＜２０１６
だから、２０１６が現れる可能性があるのは、第４５群以降になります。
ここで、２０１６を素因数分解すると、２０１６＝２×２×２×２×２×３×３×７となります。
２０１６が第ｎ群にあるとすると、ｎは２０１６の約数となります。
４５、４６、４７が条件を満たさないことは明らかですね。
４８＝２×２×２×２×３は２０１６の約数だから、２０１６は第４８群の
２０１６/４８
＝４２番目 ←４８以下だからオーケーですね。
に初めて現れることになります。
したがって、最初に現れる２０１６は、この数列の
４７×４７＋４２
＝４５×４５＋４５＋４６＋４６＋４７＋４２ ←（１）の図を思い浮かべれば、このようになることはすぐにわかります。
＝２０２５＋２２６
＝２２５１項
になります。