京都大学２００６年前期理系数学第４問（解答・解説）
素数ｎが３の倍数のとき、ｎ＝３となります。 ←２、３以外の素数は、２でも３でも割り切れない整数（６で割ると１か５余る整数）なので、２と３は特殊な素数になります。問題を解く際、特殊なものに注目するとうまくいくことがよくあります。
ｎ＝３のとき、ｎ２＋２＝３×３＋２＝１１となり、条件を満たします。
ｎが３で割り切れないときを考えます。
ｎを３で割ったときの商を△、余りを○（○＝１、２）とします。
ｎ２の面積図をかくと、次のようになります。 ←２数の積があれば、長方形（正方形）の面積に帰着させることができますね。
黄色の部分は３で割り切れるので、ｎ２を３で割ったときの余りは、ピンク色の部分（○×○）を３で割った余りと等しいことがわかります。 ←一般に、○を△で割ったときの余りが☆、□を△で割ったときの余りが★のとき、○×□を△で割ったときの余りは☆×★を△で割ったときの余りと等しくなります（和、差についても同様です）。上と同様の面積図をかけばすぐにわかります。
１×１＝１、２×２＝４のいずれも３で割ると１余るから、ｎ２は３で割ると１余り、ｎ２＋２は３で割り切れることになります。
ところが、ｎ２＋２は２×２＋２＝６以上で、３以外の３の倍数は素数でないから、ｎ２＋２は３の倍数ではなく、結局、ｎが３で割り切れない数となることはありません。
したがって、２以上の自然数ｎに対し、ｎとｎ２＋２がともに素数になるのはｎ＝３の場合だけになります。
自治医科大学２０１６年医学部数学第６問が同じ着眼点で解ける同レベルの問題なので、ぜひ解いてみましょう。
