京都大学１９９６年後期理系数学第２問（解答・解説）
ｍｎ＋１が１０の倍数だから、ｍｎの一の位は９（奇数）となり、ｍは奇数でなければいけませんね（ｎについても同様です）。
１と５はいくつかけても一の位が９にならないから、ｍの一の位としてありうるのは、３、７、９のいずれかになります（ｎについても同様です）。
あとは、一の位チェックで周期性を確認するだけです。
３をかけていったときの一の位は３、９、７、１の４個の数の繰り返し、７をかけていったときの一の位は７、９、３、１の４個の数の繰り返しだから、一の位が９となるためには、４で割ると２余る個数（偶数個になりますね）かけあわせる必要があり、ｎが奇数という条件を満たしません。
９をかけていったときの一の位は９、１の２個の数の繰り返しだから、奇数個かけたとき条件を満たします。
結局、例えば、ｍ＝９、ｎ＝１９とすればよいことがわかります。
神戸女学院中学部１９９１年算数１日目第５問も解いてみましょう。京大の問題と本質的には何も変わりませんよ。