神戸大学２０１９年前期理系数学第４問・文系数学第２問（解答・解説）
（１）
群数列の問題ですね。
グループごとに並べて、グループ番号をつけます。
最後のグループを[ｍ]とすると、最後のグループが（あ）１と３と４の場合、（い）１と３の場合、（う）１だけの場合が考えられます。
[１] １ ３ ４
[２] １ ３ ４
・・・・・・・・
[ｍ] ？ ？ ？
（ｍは１以上の整数）
（あ）の場合
ｎが３の倍数のときですね。
ｎ＝ｍ×３となるから、ｍ＝ｎ/３となります。
Ｓn
＝（１＋３＋４）×ｍ
＝８×ｍ
＝８×ｎ/３
となります。
（い）の場合
ｎが３で割ると２余る数のときですね。
ｎ＝ｍ×３−１となるから、ｍ＝（ｎ＋１）/３となります。
Ｓn
＝（１＋３＋４）×ｍ−４
＝８×ｍ−４
＝８×（ｎ＋１）/３−１２/３
＝（８×ｎ−４）/３
となります。
（う）の場合
ｎが３で割ると１余るときですね。
ｎ＝ｍ×３−２となるから、ｍ＝（ｎ＋２）/３となります。
Ｓn
＝（１＋３＋４）×ｍ−（４＋３）
＝８×ｍ−７
＝８×（ｎ＋２）/３−２１/３
＝（８×ｎ−５）/３
となります。
以上（あ）〜（う）より、Ｓnは
８×ｎ/３ （ｎが３の倍数のとき）
（８×ｎ−４）/３ （ｎが３で割ると２余る数のとき）
（８×ｎ−５）/３ （ｎが３で割ると１余る数のとき）
となります。
（２）
各グループの和が８の倍数であることから、（あ）の場合のＳnは８で割り切れる数、（い）の場合のＳnは８で割ると１＋３＝４余る数、（う）の場合のＳnは８で割ると１余る数となります。 ←このことは（１）の計算過程からもわかりますね。
ところが、２０１９は８で割ると３余る数だから、Ｓn＝２０１９となることはありえません。
（３）
８×ｍ−７ → １、９、１７、・・・
８×ｍ−４ → ４、１２、２０、・・・
８×ｍ → ８、１６、２４、・・・
だから、Ｓnは、８で割ると１、４、０余る数（自然数）のすべてを表すことができます。
ｋを４で割った余りが０、１、２、３のときにｋ2を８で割った余りがどのようになるかを考察します。
ｋを４で割ったときの商がｑで余りがｒ（ｒ＝０、１、２、３）とすると、ｋ＝４×ｑ＋ｒとなります。
上の面積図において、黄色の部分は１６の倍数だから当然８の倍数になります。 ←ｒ＝０のときは、黄色の部分だけになります。
黄緑色の部分は４の倍数で、同じ４の倍数が２個あるから、黄緑色の部分２個では８の倍数になります。
結局、ｋ2を８で割った余りは、ｒ2を８で割った余りと一致することになります。
０2＝０→８で割った余りは０
１2＝１→８で割った余りは１
２2＝４→８で割った余りは４
３2＝９→８で割った余りは１
となるから、ｋ2（当然、自然数ですね）を８で割った余りは０か１か４となります。
したがって、どのような自然数ｋに対しても、Ｓn＝ｋ2となる自然数ｎが存在することになります。
