東京大学２０１９年理科数学第４問（解答・解説）
（１）
５ｎ2＋９＝（ｎ2＋１）×５＋４だから、５ｎ2＋９とｎ2＋１をともに割り切る数は４も割り切ることになるから、ｎ2＋１と５ｎ2＋９の最大公約数ｄnの候補は４の約数、つまり１、２、４のいずれかになります。 ←ユークリッドの互除法により、ｎ2＋１と５ｎ2＋９の最大公約数とｎ2＋１と４の最大公約数が一致することがわかりますが、小学生には少し厳しいので、あえて使いません。
ｎ2を４で割ったときの余りを考察するため、ｎの偶奇で場合分けして考えます。
（あ）ｎ＝２×ｍ（ｍは１以上の整数）のとき
ｎ2
＝２ｍ×２ｍ
＝４×ｍ×ｍ
となるから、４で割ったときの余りは０となります。
（い）ｎ＝２×ｍ＋１（ｍは０以上の整数）のとき
ｎ2
＝（２ｍ＋１）×（２ｍ＋１）
＝４×ｍ×ｍ＋４×ｍ＋１ ←面積図（（２）の面積図のｎが２ｍの場合です）を思い浮かべればこのようになることがすぐにわかりますね。
となるから、４で割ったときの余りは１となります。
ｎが偶数のとき、ｎ2＋１を４で割った余りは１となるから、最大公約数ｄnの候補のうち１だけが適するものになります。
したがって、最大公約数ｄn＝１となります。
ｎが奇数のとき、ｎ2＋１を４で割った余りは２となるから、最大公約数ｄnの候補のうち１か２となります。
５ｎ2＋９も偶数だから、最大公約数ｄn＝２となります。
（２）
ｎが偶数のとき、（１）より、ｎ2＋１と５ｎ2＋９は互いに素（最大公約数が１）だから、積が平方数になるためには、それぞれが平方数になる必要があります。 ←素因数分解を考えれば明らかですね。
ところが、右の面積図より、
ｎ2＜ｎ2＋１＜（ｎ＋１）2
となるから、ｎ2＋１が平方数となることはありえません。
ｎが奇数のとき、（１）より、ｎ2＋１＝２×Ｋ、５ｎ2＋９＝２×Ｌ（ＫとＬは互いに素）と書けます。
２×Ｋ×２×Ｌ＝２2×Ｋ×Ｌが平方数となるから、ＫもＬも平方数になる必要があります。
そこで、Ｋ＝ｋ2、Ｌ＝ｌ2（ｋとｌは互いに素）とします。
５ｎ2＋９＝（ｎ2＋１）×５＋４より、
２×ｌ2＝（２×ｋ2）×５＋４
ｌ2＝５×ｋ2＋２
ｌ2＝４×ｋ2＋ｋ2＋２
となります。
左辺の平方数を４で割ったときの余りは、（１）の最初の考察により０か１ですね。
一方、右辺を４で割ったときの余りは、ｋ2＋２の部分を４で割ったときの余りを考えればいいですが、（１）の最初の考察により０＋２＝２または１＋２＝３となり、この場合もあり得ません。
したがって、（ｎ2＋１）（５ｎ2＋９）が整数の２乗になることはありえません。
