京都大学２０１３年理系数学第１問・文系数学第２問（解答・解説）
三角形の相似を利用するため、図のように補助線（延長線）を引き、記号をつけます。
ＤＳの長さを[１]とします。
三角形ＧＳＤと三角形ＧＦＣは相似（相似比はＧＤ：ＧＣ＝１：３）だから、ＦＣ＝[３]となります。
また、点Ｆが辺ＢＣを２：１に内分する点だから、ＢＣ＝ＡＤ＝[９]となります。
さらに、三角形ＥＢＣと三角形ＥＡＲは合同だから、ＲＡ＝[９]となります。
ここで、三角形ＰＡＳと三角形ＰＱＦは相似だから、ＡＰ：ＱＰ＝ＰＳ：ＰＦ・・・①となります。
また、三角形ＰＳＲと三角形ＰＦＣは相似だから、ＰＳ：ＰＦ＝ＳＲ：ＦＣ＝（[１]＋[９]＋[９]）：[３]＝１９：３・・・②となります。
①、②より、ＡＰ：ＰＱ＝１９：３となります。
