岡山大学２０１０年前期文系数学第２問（解答・解説）
規則性（約束記号）の問題ですね。
問題文の例をよく観察し、規則をしっかり把握し、一般化することが大切です。
与えられた表をよく観察すると、上からｍ番目は、左から１番目が（ｍ＋１）×（ｍ＋１）で、右に１つ行くごとにｍ×２増えていることがわかりますね。
したがって、
ｍ◇ｎ
＝（ｍ＋１）×（ｍ＋１）＋ｍ×２×（ｎ−１）
となっていることがわかりますね。
（１）
８◇１＋８◇２＋８◇３＋・・・＋８◇２５
＝（９×９）＋（９×９＋８×２）＋（９×９＋８×２×２）＋・・・＋（９×９＋８×２×２４）
＝９×９×２５＋８×２×（１＋２＋３＋・・・＋２４） ←分配法則の逆を利用しました。
＝８１×２５＋８×２×（１＋２４）×２４×１/２ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝２０２５＋４８００ ←２５×４＝１００となることを利用して計算しました。例えば、８１×２５は８０×２５＋２５として計算できますね。
＝６８２５
となります。
（２）
（ｍ＋１）×（ｍ＋１）＋ｍ×２×（ｎ−１）
＝ｍ×ｍ＋ｍ＋ｍ＋１＋ｍ×２×ｎ−ｍ×２ ←分配法則を利用しました。
＝ｍ×ｍ＋ｍ×２×ｎ＋１
これが４７４となるから、
ｍ×ｍ＋ｍ×２×ｎ＝４７３
ｍ×（ｍ＋２×ｎ）＝４７３ ←分配法則の逆を利用しました。
ｍとｍ＋２×ｎは４７３の約数のペアですね。
４７３＝１１×４３で、ｍ＜ｍ＋２×ｎだから、ｍ＝１、ｍ＋２×ｎ＝４７３またはｍ＝１１、ｍ＋２×ｎ＝４３となります。
したがって、（ｍ，ｎ）＝（１，２３６）、（１１，１６）となります。