大阪大学２０１３年前期理系数学第３問（解答・解説）
指数を大きくする意味はあまりないと思いますが、たす数字と指数を一致させたかったのでしょうね。
（あ）ｎが３の倍数のとき
ｎ3は３の倍数となり、それに３を足したｎ3＋３も３の倍数となります。 ←一般に、〇で割ると△余る数と〇で割ると□余る数の積を〇で割った余りは△×□を〇で割った余りと一致し、和を〇で割った余りは△＋□を〇で割った余りと一致することを利用しました（以下、同様です）。このことは、面積図を思い浮かばればすぐにわかりますね。
３より大きい３の倍数は素数でないから、このとき、４個の整数がすべて素数となるような正の整数は存在しません。
（い）ｎが３で割ると１余るとき
ｎ5は３で割ると１余る数となり、それに５を足したｎ5＋５は３の倍数となります。
３より大きい３の倍数は素数でないから、このとき、４個の整数がすべて素数となるような正の整数は存在しません。
（う）ｎが３で割ると２余るとき
ｎ7を３で割ったときの余りは２7＝１２８を３で割ったときの余り２と等しくなり、それに７を足したｎ7＋７は３の倍数となります。
３より大きい３の倍数は素数でないから、このとき、４個の整数がすべて素数となるような正の整数は存在しません。
以上（あ）、（い）、（う）より、４個の整数ｎ＋１、ｎ3＋３、ｎ5＋５、ｎ7＋７がすべて素数となるような正の整数ｎは存在しません。
なお、ｎ＋１が素数という条件は全く使わずに解けるので、「３個の整数ｎ3＋３、ｎ5＋５、ｎ7＋７がすべて素数となるような正の整数ｎは存在しない。これを証明せよ」という問題にすべきだったでしょう。