千葉大学２０１１年前期文系数学第８問（解答・解説）
（１）
４段目に到達する直前を考えると、１段目から３段上る場合（a1＝１通りですね）、２段目から２段上る場合（a2＝２通りですね）、３段目から１段上る場合（a3＝４通りですね）があるので、 ←逆から考えます（以下同様）。
a4
＝１＋２＋４
＝７
となります。
５段目に到達する直前を考えると、２段目から３段上る場合（a2＝２通りですね）、３段目から２段上る場合（a3＝４通りですね）、４段目から１段上る場合（a4＝７通りですね）があるので、
a5
＝２＋４＋７
＝１３
となります。
（２）
（ｎ＋３）段目に到達する直前を考えると、（ｎ＋２）段目から１段上る場合（an+2通りですね）、（ｎ＋１）段目から２段上る場合（an+1通りですね））、ｎ段目から３段上る場合（an通りですね）があるから、an+3＝an+2＋an+1＋anとなります。 ←トリボナッチ数列と呼ばれる規則性です。
なお、最初が１段、２段、３段の場合に分けて考えることもできます。
（３）
表を書いていけば機械的に処理できるでしょう。
１段 １
２段 ２
３段 ４
４段 ７
５段 １３
６段 ２４
７段 ４４
８段 ８１
９段 １４９
１０段 ２７４
したがって、a10＝２７４となります。
なお、この問題は慶應義塾中等部２００７年算数第６問とほぼ同じです。