京都大学２０１６年理系数学第２問（解答・解説）
ｐとｑの偶奇が一致すると、ｐq＋ｑpは偶数となり、しかも、２よりも大きくなるから、素数となりえず、条件を満たしません。
したがって、ｐ、ｑのうち一方が偶数で、他方が奇数となります。
（あ）ｐが偶数、ｑが奇数のとき
ｐは２となります。 ←偶数の素数は２だけですね。
ｐq＋ｑp
＝２q＋ｑ２
となります。
ｑが３の倍数、つまり３のとき、ｐq＋ｑp＝２３＋３２＝１７となり、条件を満たします。
ｑが３の倍数でないとき、奇数ｑは６で割ると１か５余る数となります。
qが６で割ると１余る数のとき
q＝６×ｒ＋１（ｒは整数）とおけます。
ｑ２を３で割ったときの余りは１を２個かけたものを３で割ったときの余りと等しく１となります。 ←このようになることは面積図を思い浮かべればすぐにわかります（以下、同様）。
また、２q＝２６ｒ＋１というのは、２を６個かけたもの（６４）をｒ個かけたものに２をかけることになりますが、６４は３で割ると１余る数で、これをｒ個かけた数を３で割ったときの余りは１をｒ個かけたものを３で割ったときの余りと等しく１となります。
さらに、３で割ったときの余りが１の数と３で割ったときの余りが２の数をかけた数を３で割ったときの余りは１×２を３で割ったときの余りと等しく２となります。
結局、ｐq＋ｑpは３で割り切れることになり、ｐ、ｑが素数であることより３より大きいことは明らかだから素数となりえず、条件を満たしません。
ｑが６で割ると５余る数のとき
q＝６×ｓ＋５（ｓは整数）とおきます。
ｑ２を３で割ったときの余りは５を２個かけたものを３で割ったときの余りと等しく１となります。
また、２q＝２６ｓ＋５というのは、２を６個かけたもの（６４）をｓ個かけたものに２×２×２×２×２＝３２をかけることになりますが、６４は３で割ると１余る数で、これをｓ個かけた数を３で割ったときの余りは１をｓ個かけたものを３で割ったときの余りと等しく１となり、３２は３で割ると２余る数となります。
３で割ったときの余りが１の数と３で割ったときの余りが２の数をかけた数を３で割ったときの余りは１×２を３で割ったときの余りと等しく２となります。
結局、ｐq＋ｑpは３で割り切れることになり、ｐ、ｑが素数であることより３より大きいことは明らかだから素数となりえず、条件を満たしません。
（い）ｐが奇数、ｑが偶数のとき
（あ）の場合同様、ｐ＝３、ｑ＝２のみ条件を満たします。 ←与えられた条件はｐとｑを入れ替えても全く同じですね。〜条件の対等性を利用して作業を減らす！
以上（あ）、（い）より、与えられた条件を満たす素数は１７だけとなります。