北海道大学２０１４年前期文系数学第４問・理系数学第４問（解答・解説）
（１）、（２）
経路は全部で
（８×７×６×５）/（４×３×２×１） ←８回の移動のうち北に行く４回の選び方（組合せ）ですね（以下同様）。
＝７０通り
あります。
aを通り抜ける経路は
２×（５×４）/（２×１） ←Ｓ地点から経路aの左端の地点までの行き方が２通りあり、そのそれぞれに対して経路aの右端の地点からＧ地点までの行き方が（５×４）/（２×１）通りあるからです（以下同様）。
＝２０通り
あります。
bを通り抜ける経路は
（６×５）/（２×１）×１
＝１５通り
あります。
aもbも通り抜ける経路（以下、Ａとします）は
２×３×１
＝６通り
あります。
aを通り抜けずにbを通り抜ける経路（以下、Ｂとします）は
１５−６ ←わかりにくければヴェン図をかきましょう。
＝９通り
あります。
bを通り抜けずにaを通り抜ける経路（以下、Ｃとします）は
２０−６
＝１４通り
あります。
aもbも通り抜けない経路（以下、Ｄとします）は
７０−２０−１５＋６ ←「ひきすぎたら、たす」
＝４１通り
あります。
（３）
仮平均を利用して解きます。
基本的には（Ｄの場合には）、２×８＝１６分かかりますが、Ａの場合は（８−２）−（２−１）＝５分余分にかかり、Ｂの場合は８−２＝６分余分にかかり、Ｃの場合は２−１＝１分短くなります。
したがって、求める平均所要時間は
１６＋（５×６＋６×９−１×１４）/７０
＝１７分
となります。