東京工業大学２０１６年数学第４問（解答・解説）
以下、商は整数の範囲で考えるものとします。
（１）
（あ）ｎが４のとき
（ｎ−１）！
＝３×２×１
＝６
はｎ（４）で割り切れません。
（い）ｎが素数のとき
１、２、・・・、（ｎ−１）はすべてｎと互いに素（最大公約数が１）だから、（ｎ−１）！は、ｎと互いに素となり、ｎで割り切れません。
（あ）、（い）より、ｎが素数または４のとき、（ｎ−１）！はｎで割り切れません。
（２）
ｎが素数でなくかつ４でもないとき、ｎ＝ｐ×ｑ（ｐは２以上の整数、ｑは３以上の整数）とおくことができます。
（あ）ｐ＝ｑのとき
ｎ＝ｑ×ｑで、ｑ×ｑ≧ｑ×３＞ｑ×２＞ｑ≧３だから、（ｑ×ｑ−１）以下の整数には必ず、ｑ×２とｑが含まれるから、それらをともに含む（ｎ−１）！はｎで割り切れます。
（い）ｐ≠ｑのとき
ｐ×ｑ＞ｐ、ｐ×ｑ＞ｑだから、（ｐ×ｑ−１）以下の整数には必ず、ｐとｑが含まれるから、それらをともに含む（ｎ−１）！はｎで割り切れます。
（あ）、（い）より、ｎが素数でなくかつ４でもないとき、（ｎ−１）！はｎで割り切れます。