京都大学１９６８年理系・文系共通数学第２問（解答・解説）
この問題の場合、どの３つの長さを組み合わせても、三角形の成立条件（３つの辺を○、□、△（○≧□≧△）とするとき、○＜□＋△）を満たしますね。 ←３６＜２０＋２２だからです。
三角形は、次の３つの場合が考えられます。
（あ）３辺の長さがすべて異なる三角形の場合
（い）２辺の長さだけが等しい三角形（正三角形以外の二等辺三角形）の場合
（う）３辺の長さが等しい三角形（正三角形）の場合
（あ）の場合
９個の長さから異なる３個の長さを選べば異なる三角形ができるので、三角形は、
（９×８×７）/（３×２×１） ←組合せですね。
＝８４種類
できます。
（い）の場合
等しい長さとなる長さの選び方が９通りあり、そのそれぞれに対して残りの辺の選び方が８通りあるので、三角形は、
９×８ ←「同時に起こる⇒積の法則」
＝７２種類
できます。
（う）の場合
辺の選び方が９通りあるので、三角形は９種類できます。
以上（あ）〜（う）より、三角形は
８４＋７２＋９ ←「同時に起こらない⇒和の法則」
＝１６５種類
できます。