東京大学２０２４年文科数学第２問（解答・解説）
（１）
ｎが１９より大きいことは明らかなので、５を１９個取り除くことを考えます（与えられた不等式全体を５１９で割った不等式をを考えます）。
すると、５を（ｎ−１９）個かけあわせた数が、２を１９個かけあわせた数、つまり１０２４×５１２＝５２４２８８を超える場合のうち最も小さいものを求めればよいことになります。 ←２１０＝１０２４を利用しました。
５４＝２５×２５＝６２５
５８＝６２５×６２５＜５２４２８８
５９＝６２５×３１２５＞５２４２８８
だから、最小のｎは９＋１９＝２８となります。
（２）
（１）より、ｍが２８のとき与えられた不等式が成り立つことは明らかですね。
また、５８＝６２５×６２５が５２４２８８に比べてだいぶ小さく、ある程度大きなｍに対しては、４ｍは５ｍよりかなり小さいと考えられるので、ｍが２７以下のとき、５ｍ＋４ｍ＜１０１９となると予想できます。
そこで、５２７＋４２７＜１０１９であることを示します。
これを示すためには、全体を５１９で割った不等式
５８＋４８×（４/５）１９＜２１９
を示せばよいですね。
５８＝６２５×６２５＝３９０６２５＜４０００００
４８＝２１６＝１０２４×６４＜７００００
この２数の和ですら２１９＝５２４２８８を下回ることが明らかであるから、４８をさらに小さくした４８×（４/５）１９と５８の和が５２４２８８を下回ることは明らかですね。
したがって、最小のｍは２８となります。