京都大学２０２４年文系数学第４問（解答・解説）
２００５年に日本ジュニア数学オリンピックで同じような問題（十進法と五進法で桁数が変わらない自然数の個数を問う問題）が出されています（日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２００５年予選第５問）。
問題文がやや抽象的でわかりにくいかもしれないので、簡単な例で実験してみます。
２進法、３進法、４進法で桁数が同じになるものについて考えます。
１桁 ２桁
２進法 １ ２〜３
３進法 １〜２ ３〜８
４進法 １〜３ ４〜１５
２桁の２進数の最大の数（３）が２桁の４進数の最小の数を下回っているから、２桁以上で条件を満たすものはなく、１桁の１のみ条件を満たすことがわかりますね。
さて、問題を解いてみましょう。
条件を満たす最大の整数（△とします）がn桁であると考えます。
１０〇-1≦△＜１０〇 ←わかりにくければ具体例を考えてみるとよいでそう。例えば、１０進法の３桁の数は１００、１０１、・・・、９９９で１００（１０2）以上１０００（１０3）未満になります。他の進法についても同様ですね。
９〇-1≦△＜９〇
８〇-1≦△＜８〇
の３つの条件を満たす、つまり、
１０〇-1≦△＜８〇
を満たす最大の整数△を求めることになります。
〇＝１ １、８
〇＝２ １０、８×８＝６４
〇＝３ １００、６４×８＝５１２
〇＝４ １０００、５１２×８＝４０９６
〇＝５ １００００、４０００×８＝３２０００より大 ←面倒な計算を避けるため、４０９６の下２桁をカットしました。これで２の累乗の計算が再び利用できるようになりますね。
〇＝６ １０００００、３２０００×８＝２５６０００より大
〇＝７ １００００００、２５６０００×８＝２０４８０００より大 ←面倒な計算を避けるため、４８をカットして００にしました。これで２の累乗の計算が再び利用できるようになりますね。
〇＝８ １０００００００、２００００００×８＝１６００００００より大
〇＝９ １００００００００、１６００００００×８＝１２８００００００より大
〇＝１０ １０００００００００、１２８００００００×８＝１０２４００００００より大
〇＝１１ １００００００００００、１０２４００００００×８＝８１９２００００００より大
〇＝１０までは△があるということが確認できましたね。
〇＝１１以上のとき、△がなさそうなので、厳密に計算して確認します。
８１１＝２３３＝１０２４×１０２４×１０２４×８＝１０７３７４１８２４×８＜１１００００００００×８＜８８００００００００となり、１１桁の整数より小さくなるので、〇＝１１のとき、△はありません。
また、〇が１増えると、１０〇-1は１０倍され、８〇は８倍されるので、〇が１１以上のときに△がないことは明らかですね。
したがって、条件を満たす最大の整数は１０７３７４１８２４−１＝１０７３７４１８２３となります。