京都大学２０２４年文系数学第２問（解答・解説）
立方体の隣り合う面同士は異なる色で塗るということですね。
立方体の１つの頂点に集まる３つの面に着目すれば、２色以下で塗ることができないことは明らかですね。
なお、用意した色をすべて使う必要がないことに注意しましょう。
立方体を立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨとします。
向かい合う面の３つのペア（面ＡＢＣＤと面ＥＦＧＨ、面ＡＢＦＥと面ＤＣＧＨ、面ＡＥＨＤと面ＢＦＧＣ）をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとします。
（１）
すべての場合は３×３×３×３×３×３（通り）あります。
条件を満たす塗り方は、Ｐに３色のうちどの色を塗るかで３通りあり、そのそれぞれに対して、Ｑに残った２色のうちどの色を塗るかで２通りあり、そのそれぞれに対して、Ｒには残った１色の色で塗ることになるので、３×２×１（通り）あります。
したがって、求める確率は
（３×２×１）/（３×３×３×３×３×３）
＝２/２４３
となります。
（２）
すべての場合は４×４×４×４×４×４（通り）あります。
条件を満たす塗り方には次の２つの場合が考えられます。
（あ）３色で塗る場合
（い）４色で塗る場合
（あ）の場合
４色のうちどの色を使わないかで４通りあり、そのそれぞれに対する３色を使った塗り方は（１）の場合と同じだから、この場合は、４×３×２×１（通り）あります。
（い）の場合
Ｐ、Ｑ、Ｒのうち２つのペアを同じ色で塗り、残った１つのペアを異なる色で塗る場合になります。 ←少し実験してみればわかることです。例えば、Ｐを同じ色で塗る場合、Ｐを底面と考えたときの側面の４面を３色で塗ることになり、側面の２つのペアのうち１つのペアだけ同じ色で塗る必要がありますね。一方、Ｐを異なる色で塗る場合、Ｐを底面と考えたときの側面の４面を２色で塗ることになり、側面の２つのペアはそれぞれ同じ色で塗る必要がありますね。なお、ここで考察したように、あるペアを同じ色で塗る場合と異なる色で塗る場合に分けて考えることもできます。
どのペアを異なる色で塗るかで３通りあり、そのそれぞれに対して、どの色で塗るかで４×３×２×１（通り）あるから、この場合は、３×４×３×２×１（通り）あります。 ←例えば、Ｐを異なる色で塗る場合、Ｐ１、Ｐ２、Ｑ、Ｒを４色で塗ることになるからです（他の場合も同様）。
したがって、求める確率は
（４×３×２×１＋３×４×３×２×１）/（４×４×４×４×４×４） ←分子は４×３×２×１×４となりますね。
＝３/１２８
となります。