北海道大学２０２４年前期文系数学第１問（解答・解説）
（１）
素因数２の使用個数が０個からｍ個の（ｍ＋１）通りあり、そのそれぞれに対して、素因数３の使用個数が０個からｎ個の（ｎ＋１）通りあるから、求める個数は（ｍ＋１）×（ｎ＋１）個となります。 ←約数の個数の求め方については、神戸女学院中学部１９９５年算数２日目第４問の解説を参照しましょう。
（２）
まず、６９１２を素因数分解します。
９）６９１２
６） ７６８
１２８
９＝３×３、６＝２×３、１２８＝２×８×８＝２７だから、６９１２＝２８×３３となります。
（解法１）
６９１２の約数で１２で割り切れないものは、
（あ）素因数３の使用個数が０個のもの
（い）素因数３の使用個数が１個から３個のもので素因数２の使用個数が０個か１個のもの ←下線部分によって、（あ）と（い）のダブりを防いでいます。
となります。
（あ）のものの和は
１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６ ←この計算は等比数列の和として求める（灘中学校１９９２年算数２日目第１問の解説を参照）こともできますが、ここでは、２５６×２＝５１２チームが参加したトーナメントの試合数（引き分けなし）と考えて、５１２−１とします。
＝５１１
となり、（い）のものの和は
（３＋９＋２７）×（１＋２） ←約数の和の求め方については、神戸女学院中学部１９９５年算数２日目第４問の解説を参照しましょう。長方形の面積をイメージするとわかりやすいでしょう。
＝１１７
となるから、求める和は
５１１＋１１７
＝６２８
となります。
（解法２）
６９１２のすべての約数の和は
（１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６）×（１＋３＋９＋２７）
＝５１１×４０
＝２０４４０
となります。
ここから、１２で割り切れる約数の和を引けばいいですね。
６９１２＝１２×２６×３２だから、１２で割り切れる約数の和は、２６×３２の約数の和を求めて１２倍すればいいですね。
１２で割り切れる約数の和は
（１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４）×（１＋３＋９）×１２
＝１２７×１３×１２
＝１２７×１５６
＝１９８１２
となるから、求める和は
２０４４０−１９８１２
＝６２８
となります。