一橋大学２０２０年前期数学第１問（解答・解説）
（１）
１０ｎを２０２０で割った余りを、小さいｎから順に調べていきます。
１０１＝１０
１０２＝１００
１０３＝１０００
１０４＝１００００＝２０２０×５−１００（あと１００あれば２０２０で割り切れる数）→２０２０−１００＝１９２０
１０５→（２０２０−１００）×１０＝２０２０×１０−１０００（あと１０００あれば２０２０で割り切れる数）→２０２０−１０００＝１０２０
１０６→１０２０×１０＝１０２００＝２０２０×５＋１００→１００
・・・・・・・・・・・・・・・・・
となり、最初が１０で、２番目以降は１００、１０００、１９２０、１０２０の４個の数の繰り返しとなります。
１０ｍ＋４（ｍは０以上の整数）
＝１０ｍ×１００００ ←小学生にとっては、１００が分かりにくいかもしれませんが、１０１＝１０、１０２＝１００、１０３＝１０００、・・・というように、１０をかける個数が１増えるごとに１０倍になる、逆に考えると、１０をかける個数が１減るごとに１/１０倍になるから、１００は１０１＝１０の１/１０倍、つまり１となります。
＝１０ｍ×（２０２０×５−１００）
＝１０ｍ×２０２０×５−１０ｍ＋２
となるから、１０ｍ＋４＋１０ｍ＋２は２０２０で割り切れ、２０２０で割った余りが、２番目以降、偶数番目は１００、１９２０の２個の繰り返しとなり、奇数番目は１０００、１０２０の２個の数の繰り返しとなることが確認できますね。
結局、１０ｎを２０２０で割ったときの余りは次のようになります。
ｎ＝１のとき １０
ｎ≧２のとき
ｎが４で割ると２余る数のとき、１００
ｎが４で割ると３余る数のとき、１０００
ｎが４で割りきれる数のとき、１９２０
ｎが４で割ると１余る数のとき、１０２０
１０は４で割ると２余る数だから、答えは１００となります。
なお、２０２０で割った余りを次のように書き出してもすぐに答えが求められます。
１
１００、１０００、１９２０、１０２０
１００、１０００、１９２０、１０２０
１００
（２）
１００桁の整数で各位の数の和が２となるものは、
１００・・・０００（０が９９個）＋１０・・・０（０が０個以上９９個以下のいずれか） ←１００・・・０００（０が９９個）の数に１，１０、１００、１０００、・・・１００・・・０００（０が９９個）のいずれかを足すということです。
＝１０９９＋１０ｋ（ｋは０以上９９以下の整数）
ですね。
９９は４で割ると３余る数だから、１０９９を２０２０で割った余りは１０００となり、条件より、１０ｋを２０２０で割った余りは１０２０となり、ｋは４で割ると１余る数（ただし、１は除きます）となります。
０以上９９以下の整数（１００個の整数）の中に４で割ると１余る数は２５個ありますが、１は除外されるから、答えは２４個となります。