九州大学２０１７年前期理系数学第３問（解答・解説）
（１）
１から４×６００−３＝２３９７までに４で割ると１余り、７で割り切れる数が何個あるか求める問題ですね。←等差数列の各項が３大きければ４の倍数が並んだものとなることに着目し、第６００項を求めました。
７で割り切れる数を小さい順に書き出すと、
７，１４，２１，・・・ ←４で割ると１余る数は奇数だから、実際には、７から一つ置きに書き出せばいいですが、・・・
となり、条件を満たす最小の数は２１となります。以後、２８（４と７の最小公倍数）ごとに条件を満たす数が登場します。
（２３９７−２１）/２８
＝８４．・・・
だから、条件を満たすものは８４＋１＝８５個あります。
なお、４で割ると１余り、７で割り切れる数は、２１＋２８×△＝７×（３＋４×△）（△＝０、１、２、・・・、８４）と表すことができますね。
（２）
１から２３９７までに４で割ると１余り、７×７＝４９で割り切れる数が何個あるか求める問題ですね。
４９は４で割ると１余る数で、これが条件を満たす最小の数となります。以後、１９６（４と４９の最小公倍数）ごとに条件を満たす数が登場します。
（２３９７−４９）/１９６
＝１１．・・・
だから、条件を満たすものは１１＋１＝１２個あります。
なお、４で割ると１余り、７×７で割り切れる数は、４９＋１９６×□＝７×７×（１＋４×□）（□＝０、１、２、・・・、１１）と表すことができますね。
（３）
１から２３９７までに４で割ると１余り、７×７×７＝３４３で割り切れる数が何個あるか求めます。
３４３で割り切れる数を小さい順に書き出すと、
３４３，６８６，１０２９，・・・ ←４で割ると１余る数は奇数だから、実際には、７から一つ置きに書き出せばいいですが、・・・
となり、この条件を満たす最小の数は１０２９となります。以後、１３７２（４と３４３の最小公倍数）ごとに条件を満たす数が登場しますが、２３９７までにはこの１個だけですね。
７×７×７×７＞２３９７だから、７の４乗以上で割り切れる数はありませんね。
１０２９（７×７×７×３）までに、４で割ると１余り、７で割り切れる数は３７個あります。 ←△＝０、１、２、・・・、３６ですね。
１０２９（７×７×７×３）までに、４で割ると１余り、７×７で割り切れる数は６個あります。 ←□＝０、１、２、・・・、５ですね。
結局、１０２９までの積を素因数分解したときの７の個数は
３７＋６＋１
＝４４個
となります。
次に４で割ると１余り、７で割り切れる数は、１０２９＋２８＝１０５７となり、これは
（１０５７＋３）/４ ←第６００項を求めるときと同様の手法で求めます。（１０５７−１）/４＋１としてもよいでしょう。
＝２６５番目
の数となり、最小のｎは２６５となります。