九州大学２０１７年文系数学第４問（解答・解説）
（１）
２２５＝１５×１５＝３×３×５×５ですね。
２０１７は、一の位の数が０でも５でもないから、５で割り切れません。
また、２０１７は、各位の数の和（２＋０＋１＋７＝１０）が３で割り切れないから、３で割り切れません。
したがって、２０１７と２２５の最大公約数は１となります。
（３）
１５＝３×５
１１１＝３×３７
１９９８＝９９９×２＝２×３×３×３×３７
条件を満たす数は１５の倍数で、しかも１１１の倍数である、つまり５×３×３７＝５５５の倍数（５５５×△とします）であることが必要です。
１９９８との最大公約数が１１１であることから、△は２でも３でも割り切れない数となり、２２５との最大公約数が１５であることから、△は３でも５でも割り切れない数となります。
また、２０１７/５５５＝３．・・・だから、△は３以下の整数となります。 ←上限チェック！
結局、条件を満たす数は、５５５×１＝５５５だけとなります。 ←すべて求めるのが当たり前なのに、問題文にわざわざ「すべて」とつけて、答えが１個となるのがいやらしいですね！
（２）
２２５との最大公約数が１５となる整数は１５×□（□は３でも５でも割り切れない整数）となります。
□は
２０１７/１５
＝（２０２５−８）/１５ ←４５×４５＝２０２５を使って計算を簡略化しました。
＝１３５−８/１５
＝１３４．・・・
以下の整数、つまり１３４以下の整数となります。
とりあえず、２０２５以下で考えると、□は１以上１３５以下の整数となり、この中には３でも５でも割り切れない整数が１３５×２/３×４/５＝７２個ありますが、１３５は３でも５でも割り切れるから、□が１以上１３４以下の整数でも個数は変わらず７２個あります。 ←オイラー関数の知識が使えるようにしましたが、このことに思い至らなければ、ヴェン図を思い浮かべて１以上１３４以下の整数のうち３でも５でも割り切れないものの個数を求めることになります。
したがって、求める個数は７２個となります。