東京工業大学２０１７年数学第１問（解答・解説）
例えば、６の約数をすべて書き出すとき、次のようにペアにして書き出しますが、その方法を利用します。
１ ２
６ ３
これを小さい順に並べると、１、２、３、６となりますね。
さて、問題を解いてみましょう。
１ 〇 〇 〇 〇 〇
Ｎ ● ● ● ● １２
５個の〇は１より大きく１２より小さい整数となります。
Ｎは、１２を約数に持つから、当然１２の約数をすべて約数に持ちます。
１２の約数をペアにして書き出すと
１ ２ ３
１２ ６ ４
となり、５個の〇のうち４個は２、３、４、６とわかります。
残り１個の〇は、１より大きく１２より小さい整数で２、３、４、６以外のもの、つまり５、７、８、９、１０、１１となります。
Ｎが５を約数に持つ場合、１８を約数に持つＮは偶数であり、１０も約数に持つから、条件を満たしませんね。
当然、Ｎは１０を約数に持ちませんね。
７、８、９、１１はいずれも１、２、３、４、６より大きいから、１２の約数のペアですね。
あとは、約数の個数をすべて調べつくすだけです。
Ｎ＝７×１２（＝８４）＝２×２×３×７のとき、Ｎの約数の個数は３×２×２＝１２個となり、条件を満たします。 ←約数の個数の求め方については、神戸女学院中学部１９９５年算数２日目第４問の解説を参照しましょう。なお、この問題で最初からこの公式を振りかざすとかなり面倒なことになると思います。
Ｎ＝８×１２（＝９６）＝２×２×２×２×２×３のとき、Ｎの約数の個数は６×２＝１２個となり、条件を満たします。
Ｎ＝９×１２（＝１０８）＝２×２×３×３×３のとき、Ｎの約数の個数は３×４＝１２個となり、条件を満たします。
Ｎ＝１１×１２（＝１３２）のとき、Ｎ＝７×１２同様、Ｎの約数の個数は１２個となり、条件を満たします。
したがって、Ｎは８４、９６、１０８、１３２となります。