東京大学２０１６年文科数学第４問（解答・解説）
（１）
３をｎ個掛け合わせたときの一の位を求める問題にすぎません。
３
３×３＝９
３×３×３＝２７→７
３×３×３×３＝８１→１ ←実際には、７×３の一の位の数という感じで求めればいいでしょう（以下、同じ）。
３×３×３×３×３＝２４３→３
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３、９、７、１の４個の数の繰り返しとなります。
したがって、anは下記の通りとなります。
ｎが４で割ると１余る数のとき、３
ｎが４で割ると２余る数のとき、９
ｎが４で割ると３余る数のとき、７
ｎが４で割り切れる数のとき、１
（２）
３をいくつ掛け合わせても奇数だから、４で割ったときの余りは１か３となりますね。 ←（２）では答えの見通しとしてしか使いませんが、（３）ではこの奇数であることが非常に重要です。
３
３×３＝９→１
３×３×３＝２７→３
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３、１の２個の数の繰り返しとなります。
したがって、bnは下記の通りとなります。
ｎが奇数のとき、３
ｎが偶数のとき、１
小学生の場合、上のような解法で十分だと思いますが、もう少し厳密にすると、次のようになります。
３n+2−３n
＝３n×（９−１） ←分配法則の利用
＝３n×８
が４の倍数だから、３を（ｎ＋２）個掛け合わせた数と３をｎ個掛け合わせた数を４で割ったときの余りは一致します。
このことと３、３×３＝９を４で割ったときの余りがそれぞれ３、１となることから答えが得られます。
（３）
小さい数で少し実験してみると、x1＝１、x2＝３、x3＝２７→７ぐらいまでは１０で割ったときの余りを簡単な計算で求めることができますが、x4＝３27となると計算では厳しいことが分かります。
ところが、２７は４で割ると３余る数だから、x4を１０で割ったときの余りは、（１）より７であることが分かります。
そこで、（１）と（２）を利用することになります。
xn+1（３xn）を１０で割ったときの余りは、（１）より、xnを４で割ったときの余りで決まり、xn（３xn-1（ｎ≧２））を４で割ったときの余りは、（２）より、xn-1を２で割ったときの余り（偶奇）で決まります。
小学生にとっては若干抽象的でわかりにくいかもしれませんが、以下のように、表記を単純化し、具体的な数値で考えれば大した内容ではないことがよくわかるでしょう。
以下、xnを単にｎ番目と表記します。
１０番目を１０で割ったときの余りは、９番目を４で割ったときの余りで決まり、これは８番目を２で割ったときの余りで決まります。
ところで、８番目は３を掛け合わせた数なので、奇数となるから、９番目を４で割ったときの余りは３となります。
したがって、１０番目を１０で割ったときの余りは７となります（このとき、すべての条件を確かに満たしています）。
なお、３番目以降を１０で割ったときの余りはいずれも７となることもわかりますね。