一橋大学２０１８年前期数学第１問（解答・解説）
（１）
ｎが５桁以上の整数のときを考えるということですね。
ｎが〇桁の数であるとします（〇は５以上の整数）。
ｎは最も小さくて１０〇−１（最高位の数が１で他の位の数がすべて０の場合で、１０を（〇−１）個かけ合わせた数すね）となり、３０Ｓ(ｎ)＋２０１８は最も大きくて３０×９×〇＋２０１８（各位がすべて９の場合ですね）となります。
〇＝５のとき
１０〇−１＝１００００となり、３０×９×〇＋２０１８＝３０×９×５＋２０１８＝３３６８となり、確かにｎ＞３０Ｓ(ｎ)＋２０１８となります。
〇が１増えると、１０〇−１は、１０倍となり、最低でも９００００増えます。
一方、３０×９×〇＋２０１８は、〇が１増えても３０×９＝２７０しか増えないので、１０〇−１を上回ることはありえません。
したがって、ｎ≧１００００のとき、ｎ＞３０Ｓ(ｎ)＋２０１８が成り立ちます。
なお、高校生なら、数学的帰納法などを用いて証明してもいいでしょうね。
（２）
Ｓ(ｎ)は１以上の整数だから、３０Ｓ(ｎ)＋２０１８は４桁以上の整数となり、ｎが３桁以下の整数となることはありえませんね。
また、（１）より、ｎが５桁以上の整数となることはないから、結局、ｎは４桁の整数となります。
このとき、３０Ｓ(ｎ)＋２０１８は３０×１＋２０１８＝２０４８以上３０×９×４＋２０１８＝３０９８以下の整数だから、ｎの千の位の数は２か３となります。 ←上限チェック！下限チェック！
ここで、もう少し厳密に上限チェックを行うと、３０Ｓ(ｎ)＋２０１８は３０×（９×３＋３）＋２０１８＝２９１８以下となり、ｎの千の位の数は２と確定します。
また、３０Ｓ(ｎ)の一の位の数は０だから、３０Ｓ(ｎ)＋２０１８の一の位の数は８となり、ｎの一の位の数は８となります。 ←一の位チェック！
ｎの百の位の数を□、十の位の数を△（□と△は０以上９以下の整数）とすると、
２０００＋□×１００＋△×１０＋８＝３０×（２＋□＋△＋８）＋２０１８
２０００＋□×１００＋△×１０＋８＝３００＋□×３０＋△×３０＋２０１８ ←２＋８＝１０とした後で分配法則を利用しました。
□×７０＝△×２０＋３１０
□×７＝△×２＋３１
となります。
△×２＋３１は奇数だから、□×７も奇数となり、□も奇数となります。 ←偶奇性の利用
また、□は（０×２＋３１）/７＝４．・・・以上（９×２＋３１）/７＝７以下だから、□は５、７のいずれかとなります。 ←上限チェック！下限チェック！
□＝５のとき、△＝（５×７−３１）/２＝２となります。
□＝７のとき、△＝（７×７−３１）/２＝９となります。
したがって、条件を満たすｎは２５２８と２７９８となります。