奈良県立医科大学２０２１年前期数学第４問（解答・解説）
６桁の整数は全部で
６×５×４×３×２×１
＝７２０（[ア]の答え）通り
あります。
この６桁の整数の各位の和は１＋２＋３＋４＋８＋９＝２７で９の倍数となるから、できる整数はすべて９の倍数となるから、[オ]も７２０となります。
６桁の整数の各位の数の平均は２７/６だから、６桁の数の総和は
２７/６×１１１１１１×７２０ ←総和＝平均×個数
＝３２４０×１１１１１１
となり、[イ]の答えは３２４０となります。
なお、平均を利用せず、各位の和が（１＋２＋３＋４＋８＋９）×５×４×３×２×１となることを利用して解くこともできます。
６桁の整数を作るとき、偶数３個と奇数３個を自由に並べることができるので、偶数と奇数の個数は同じになります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
したがって、２の倍数（偶数）の個数は７２０/２＝３６０（[ウ]の答え）となります。
６桁の整数が４の倍数になるのは、下２桁が４の倍数のときになります。
一の位を基準として下２桁で条件を満たすものを書き出すと、
１２ ３２ ９２
２４ ８４
２８ ４８
の７個あります。
下２桁以外は自由に並べればよいから、４の倍数は７×４×３×２×１＝１６８（[エ]の答え）個あります。
６桁の数が１１の倍数となるのは、最高位から奇数番目の数の和を〇、偶数番目の数の和を□としたとき、〇と□の差が１１の倍数（０も含みます）ときになります。
〇と□の和の２７が奇数だから、〇と□の差も奇数となり、差が和を超えることがあり得ないことを考慮すると、〇と□の差は１１と確定します。
和差算により、〇と□のうち大きい方は（２７＋１１）/２＝１９となり、小さい方は１９−１１＝８となります。
和が８となる３数は１、３、４しかありませんね。
あとは、数字の並べ替えを考えるだけです。
〇＝８、□＝１９のとき
３×２×１×３×２×１ ←最高位から奇数番目の３つの数の並べ方と偶数番目の３つの数の並べ方を考えるだけです。
＝３６通り
あります。
〇＝１９、□＝８のときも同様に３６通りあります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
したがって、１１の倍数は３６×２＝７２（[カ]の答え）個あります。