一橋大学２０２４年後期数学第５問・選択問題[１]（解答・解説）
問題文に与えられた式から、フィボナッチ数列の問題であることはすぐにわかりますね。
anを単にｎ番目と表記します。
１番目の数を□、２番目の数を〇（□と〇は１以上の整数）とします。 ←実際には、□と〇は１ですが、あえて具体的な計算をしません。
３番目以降を書き出していきます。
１番目 □
２番目 〇
３番目 □×１＋〇×１
４番目 □×１＋〇×２
５番目 □×２＋〇×３
６番目 □×３＋〇×５
７番目 □×５＋〇×８
８番目 □×８＋〇×１３
９番目 □×１３＋〇×２１＝□×１３＋〇×１３＋〇×８
〇×１３は１３で割り切れるから、８番目の数を１３で割った余りは□×８を１３で割った余りと一致します。
また、□×１３＋〇×１３は１３で割り切れるから、９番目の数を１３で割った余りは〇×８を１３で割った余りと一致します。
すると、８番目から１４番目までは、上の１番目から７番目までの８倍を１３で割った余りを考えればよく、以下７個ごとに同様の繰り返しとなります。
１番目 ２番目 ・・・ ７番目
↓×８ ↓×８ ・・・・・・・
８番目 ９番目 ・・・１４番目
・・・・・・・・・・・・・・・
２０２４番目 ←２０２４÷７＝２８９・・・１だから、２０２４番目の数は２９０セット目の１つ目の数となります。
１番目の数（１）を８倍していったときに１３で割った余りがどうなるか考えていきます。
１
１×８＝８
１×８×８→６４→１２
１×８×８×８→１２×８＝９６→５
１×８×８×８×８→５×８＝４０→１
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
となり、１、８、１２、５の４個の数字の繰り返しになります。 ←８×８×８×８＝２の１２乗＝１０２４×４＝４０９６を１３で割ったときの余りが１だから、確かに４個ごとに同じ余りが登場しますね。
２９０÷４
＝７２・・・２
だから、求める余りは２番目の数、つまり８となります。
なお、上の解説では、一般に、◎で割った余りが☆と★の数の和と積を◎で割った余りがそれぞれ☆＋★と☆×★を◎で割った余りと一致することを利用していますが、このことは面積図を思い浮かべればすぐにわかることです。