一橋大学２０１４年後期数学第３問（解答・解説）
上限チェック・下限チェックをするだけです。
（２×３×５×７×１１×１３）10
＝（３×１０×１００１）10 ←７×１１×１３＝１００１となることは覚えておきましょう。
＞（３×１０×１０００）10
＝（３×１０4）10
＝３10×１０40 ←意味を考えれば、小学生でもこうなることがすぐにわかるはずです（例えば、１０を４個掛け合わせた数が１０セットあれば、１０を４０個掛け合わせた数となることはすぐにわかりますね）。
３2＝９だから、３4＝９×９＝８１となり、３8＝８１×８１＝８１×８０＋８１＝６５６１となり、３10＝６５６１×９は
６５６１０
− ６５６１
５９０４９
となり、３10×１０40は５＋４０＝４５桁の数となります。 ←５桁の数５９０４９を１０倍するごとに桁数が１増えていきますね。
したがって、（２×３×５×７×１１×１３）10は４５桁以上の数となります。
また、
（２×３×５×７×１１×１３）10
＝（３００３×１０）10
＝（３００３×３００３）5×１０10
＝（９０１８００９）5×１０10 ←３００３×３００３は３００３×３＝９００９にこれを左に３つずらした数を足すだけです。この時点で７桁の数となることがわかるので、いきなり次の行のように上限を抑えてもいいぐらいです。
＜（１０００００００）5×１０10
＝（１０7）5×１０10
＝１０35×１０10
＝１０45 ←４６桁の整数の最小の数ですね。
となり、（２×３×５×７×１１×１３）10は４６桁未満の数となります。
結局、（２×３×５×７×１１×１３）10は、４５桁以上の数で４６桁未満の数となるから、４５桁の数となります。