京都大学２０２５年理系数学第２問（解答・解説）
９ｚ2＝３ｚ×３ｚだから、Ｎは平方数で３の倍数となります。
ここで、整数ｐを３で割ったときの商を△、余りを○（○＝０、１、２）とします。
ｐ２の面積図をかくと、次のようになります。 ←２数の積があれば、長方形（正方形）の面積に帰着させることができますね。
黄色の部分は３で割り切れるので、ｐ２を３で割ったときの余りは、ピンク色の部分（○×○）を３で割った余りと等しいことがわかります。 ←一般に、○を△で割ったときの余りが☆、□を△で割ったときの余りが★のとき、○×□を△で割ったときの余りは☆×★を△で割ったときの余りと等しくなります（和、差についても同様です）。上と同様の面積図をかけばすぐにわかります。
０×０＝０は３で割り切れ、１×１＝１、２×２＝４はいずれも３で割ると１余るから、ｐ２を３で割ったときの余りは０か１となり、さらにｐ２×ｐ２＝ｐ４も３で割ったときの余りは０か１となり、さらにまたｐ４×ｐ２＝ｐ６を３で割ったときの余りは０か１となります（いずれもｐが３で割り切れるときは３で割った余りが０となり、ｐが３で割り切れないときは３で割った余りが１となります）。 ←高校生なら、合同式ですぐに０、１、−１の４乗と６乗を考えればすぐにわかりますが・・・
結局、ｘ6を３で割った余りは０（ｘが３で割り切れるとき）か１（ｘが３で割り切れないとき）となり、ｙ4を３で割った余りは０（ｙが３で割り切れるとき）か１（ｙが３で割り切れないとき）となります。
ｘ6＋ｙ4が９ｚ2（３で割り切れますね）となるのは、ｘとｙがともに３で割り切れるときとなります。
最も小さいＮを考えるので、まず、ｘが最小となる場合、つまり３の場合について考えます。
Ｎ＝３6＋ｙ4＝７２９＋ｙ4
ｙの値を小さい順に調べていきます。
ｙ＝３のとき
Ｎ
＝７２９＋３4
＝７２９＋８１
＝８１０
となりますが、平方数とならないので条件を満たしませんね。
ｙ＝６のとき
Ｎ
＝７２９＋６4
＝７２９＋１２９６
＝２０２５
＝９×１５×１５
となり、ｚ＝１５とすればいいですね。
ｘが６以上となると、６6≧１２９６×６×６＞２０２５となるので、最小のＮは２０２５となります。
