九州大学２０２５年前期理系数学第３問・文系数学第３問（解答・解説）
（１）
整数ｎを４で割ったときの商を△、余りを○（○＝０、１、２、３）とします。
ｎ２の面積図をかくと、次のようになります。 ←２数の積があれば、長方形（正方形）の面積に帰着させることができますね。
黄色の部分と黄緑色の部分を合わせたものは８で割り切れる（上の右側の図を参照）ので、ｎ２を８で割ったときの余りは、ピンク色の部分（○×○）を８で割った余りと等しいことがわかります。 ←一般に、○を△で割ったときの余りが☆、□を△で割ったときの余りが★のとき、○×□を△で割ったときの余りは☆×★を△で割ったときの余りと等しくなります（和、差についても同様です）。上と同様の面積図をかけばすぐにわかります。
結局、ｎ２を８で割ったときの余りは、０×０＝０、１×１＝１、２×２＝４、３×３＝９を８で割ったときの余りを考えればよく、０、１、４のいずれかとなります。
なお、高校生であれば、文字式を使って機械的に処理するだけの話です。
（２）
ｎは０以上の整数だから、ｎ2＋３は３以上となり、ｍは２以上となります。 ←下限チェック！
（１）より、ｎ2＋３を８で割った余りは０＋３＝３、１＋３＝４、４＋３＝７となり、８で割り切れることはありません。
ｍが３以上のとき、２mは８で割り切れるから、ｍは２以下となります。 ←上限チェック！
結局、条件を満たす可能性があるｍは２だけとなります。
ｍ＝２のとき、４＝ｎ2＋３で、ｎは０以上の整数だから、ｎ＝１となります。
したがって、答えは（２，１）となります。
