北海道大学２０２５年前期理系数学第５問（解答・解説）
nが３以上の整数と明記されているので、３個の整数を選べることは問題ないですね。
（１）
(k＋１）以上（k＋n）以下のk＋n−k＝n個の整数から３個の整数を選び、小さい方から順にa、b、cとすればよいから、a、b、cの選び方の総数は、（nＣ3すなわち）
n×（n−１）×（n−２）/（３×２×１）
＝n（n−１）（n−２）/６
となります。
（２）
Ｌが（１）の選び方の総数より多いことを示しなさいということですね。
１≦a＜b＜c≦２nを満たす整数a、b、cのうち、a＋b＞cとなるa、b、cの選び方のうちの一部である「n＜a＜b＜c≦２nを満たす整数a、b、cのうち、a＋b＞cとなるa、b、cの選び方」を考えます。
aもbもnより大きいから、その和はnの２倍より大きく、また、c≦２nだから、a＋b＞cという条件を自動的に満たしていることになります。 ←実際のbはn＋１よりも大きくなりますが、そんなことはどうでもいいことです。
結局、(n＋１）以上２n以下の２n−n＝n個の整数から３個の整数を選び、小さい方から順にa、b、cとすればよいから、a、b、cの選び方の総数は、nＣ3となります。 ←（１）の選び方の総数に他ならないですね。（１）のkがnの場合ですからね。
また、a＝２、b＝３、c＝４は１≦a＜b＜c≦２nとa＋b＞cを満たしていますね。 ←あと１通りでも見つけることができれば、与えられた不等式を証明することができるので、１通りを見つけました。この例はたくさんありますが、a＝３、b＝４、c＝７などとすると０点になります。nが３のとき、２nは６となり、c＝７とできないからです。
したがって、Ｌ≧nＣ3＋１となり、Ｌ＞nＣ3となります。