京都大学２００６年後期理系数学第３問（解答・解説）
（解法１）
ｎ個のさいころのところに〇を配り、各さいころに配られた〇の個数を出た目と考えます。
各さいころの出た目は１以上だから、まず、各さいころに〇を１個ずつ配ります。
残った３個の〇をｎ個のさいころに配ればいいですが、これは〇３個と/（ｎ−１）個（合計（ｎ＋２）個）の並べ方にほかなりません。 ←１個目の/の左側の〇の個数（０もふくみます）を１個目のさいころに新たに配る〇の個数、１個目の/の右側と２個目の/の左側の〇の個数（０もふくみます）を２個目のさいころに新たに配る〇の個数、・・・、（ｎ−１）個目の/の右側の〇の個数（０もふくみます）をｎ個目のさいころに新たに配る〇の個数と考えるわけです。さいころが１個のとき（ｎ＝１のとき）は/は０個と考えればいいですね（問題文に「同時に」とか「出た目の数の和」とか書いてあるので、さいころを２個以上ふることを前提としていると思いますが・・・）。
条件を満たす場合は、（ｎ＋２）箇所の場所から〇を置く場所を３か所選ぶと考えればよく、
（ｎ＋２）×（ｎ＋１）×ｎ/（３×２×１） ←単なる組合せですね。
＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）/６
通りあります。
すべての場合が６n通りあるから、求める確率は
ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）/６n+1
となります。
因みに、ｎ＋３がｎ＋２になった問題が文系（第１問）で出されています。
上の解説と同様にすると、ｎ（ｎ＋１）/（２・６n）となることがすぐにわかりますね。
（解法２）
ｎ個のさいころの出た目がほぼ１だから、地道に解いても大した手間ではありません。
ｎ個のサイコロの出た目のパターンは次の３つの場合が考えられます。
（あ）４が１個、１が（ｎ−１）個（ｎ≧１） ←もともとｎは１以上（問題文の「同時に」とか「出た目の数の和」とかいう言葉を考慮すると２以上）と考えられるので、この場合、ｎの範囲は問題ありませんが、（（い）、）（う）の場合は注意が必要です。そこで、いったん、ｎ≧３の場合の確率を求め、ｎ＝（１、）２の場合についても成り立つことを確認するという作業が必要になります。
（い）３と２が１個ずつ、１が（ｎ−２）個（ｎ≧２）
（う）２が３個、１が（ｎ−３）個（ｎ≧３）
（あ）の場合
１がどのさいころになるかでｎ通りあります。
（い）の場合
３がどのさいころになるかでｎ通りあり、そのそれぞれに対して２がどのさいころになるかで（ｎ−１）通りあるから、ｎ×（ｎ−１）通りあります。
（う）
２がどのさいころになるかで、ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）/（３×２×１）通りあります（以下略）。