同志社中学校０１年第８問（解答・解説）
★相似について★
２つの図形が相似の場合、対応する角が等しく、対応する辺の比が一定で等しくなります。
さて、問題を解いていきましょう。
問題の図形は、ＡＣの中点に関して対称（点対称図形）だから、とりあえず下半分（三角形ＡＢＣの部分）だけ考えます。 対称性を利用して作業を減らす！
図のように、ＡとＣ、ＥとＦを結びます。
三角形ＡＢＣと三角形ＥＢＦは相似（相似比は、ＡＢ：ＥＢ＝２：１）だから、ＡＣ：ＥＦ＝２：１となります。
三角形ＩＥＦの面積を①とすると、三角形ＩＣＡ（斜線部分の半分）の面積は④、三角形ＩＦＣの面積と三角形ＩＡＥの面積は②となります。 ←（台形を２本の対角線で分割してできる三角形の面積比）を参照しましょう。
三角形ＡＢＣと三角形ＥＢＦは相似（相似比は、ＡＢ：ＥＢ＝２：１）だから、面積比は２×２：１×１＝４：１となるので、三角形ＡＢＣの面積は
台形ＥＦＣＡの面積×４/（４－１）
＝（①＋④＋②＋②）×４/３
＝⑫
となります。
結局、斜線部分の面積（④×２）は、平行四辺形ＡＢＣＤの面積（⑫×２）の（④×２）/（⑫×２）＝１/３倍となるので、
１２６×１/３＝４２cm2
となります。
（台形を２本の対角線で分割してできる４つの三角形の面積比）
上底がa、下底がｂの台形を２本の対角線で分割してできる４つの三角形の面積比は、左上図のようになります。
右上図の黄緑色の三角形と赤色の三角形は相似（相似比は、上底：下底＝a：ｂ）だから、面積比は、a×a：b×bとなります。
左上図の黄緑色の三角形と赤色の三角形は相似（相似比は、上底：下底＝a：ｂ）だから、左上図のような辺の比になります。すると、右上図の紫色の斜線部分の面積と青色の斜線部分の面積の比はa：ｂとなります。 ←高さ共通⇒三角形の面積比＝底辺の比
結局、青色の斜線部分の面積は、紫色の斜線部分の面積のb/a倍となります。
左上図の水色の三角形の面積と紫色の三角形の面積は等しくなります。 ←高さと底辺が共通だから。
それぞれの三角形から共通部分を取り除いた面積も等しくなるので、右上図の青斜線部分の三角形の面積は等しくなります。
（別解）
平行四辺形ＡＦＣＨの面積は、平行四辺形ＡＢＣＤの面積の１/２となります。 ←（平行線と面積比）を参照
図のように、ＥＣと平行な補助線ＩＦを引きます。
すると、三角形ＢＦＩと三角形ＢＣＥは相似（相似比は、ＢＦ：ＢＣ＝１：２）となるので、ＢＩ：ＢＥ＝１：２となります。ＢＩ＝①とすると、ＩＥ＝①、ＡＥ（＝ＢＥ）＝②となります。
また、三角形ＡＥＪと三角形ＡＩＦは相似（相似比は、ＡＥ：ＡＩ＝②：（②＋①）＝２：３）だから、ＡＪ：ＡＦ＝２：３となります。
同様に、ＣＫ：ＣＨ＝２：３となります。 ←対称性（点対称）を考慮！
よって、平行四辺形ＡＪＣＫの面積は、平行四辺形ＡＦＣＨの面積の２/３となります。 ←（平行線と面積比）を参照
以上より、求める面積は、平行四辺形ＡＢＣＤの面積（１２６cm2）の１/２×２/３＝１/３倍、つまり、
１２６×１/３＝４２cm2
となります。
なお、メネラウスの定理を知っていれば、ＡＪ：ＪＦ＝２：１を簡単に出すことができます。
（平行線と面積比）
下の図の面積比は、いずれも「上底＋下底」の比で処理できます（長方形も平行四辺形も台形だから、左の２つですべて処理できます。また、三角形を上底０の台形と考えると、すべてを台形として処理できますね）。
面積比は
（０＋a）：（ｂ＋ｃ）：（ｄ＋ｄ）：（e＋e）
となります。
